( 1,5 pontos) Todas as sentenças abaixo sāo verdadeiras. Explique por quê. Mencione fórmulas e/ou fasa uso de gráficos quando achar pertinente.
Observação: Cada item vale 0,5 pontos.
i. Se X \sim N(0,1) então não é verdade que \mathbf{P}(0 \leq X \leq 1)=\mathbf{P}(1 \leq X \leq 2).
ii. Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
iii. Um IC não conservador para proporção é geralmente mais estreito do que o IC conservador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado afirma que as três sentenças abaixo são verdadeiras e pede explicação (mencionar fórmulas e/ou gráficos quando útil):
i. Se X \sim N(0,1) então não é verdade que \mathbf{P}(0 \leq X \leq 1)=\mathbf{P}(1 \leq X \leq 2).
ii. Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
iii. Um IC não conservador para proporção é geralmente mais estreito do que o IC conservador.
Agora vou explicar passo a passo por que cada uma é verdadeira, apresentando as fórmulas, intuição e exemplos numéricos.

Passo 2

Item i — entender o que é pedido e as ferramentas que vamos usar.
  • O enunciado fala de X com distribuição normal padrão, ou seja X \sim N(0,1). Isso significa que a função densidade de probabilidade é simétrica em torno de 0 e tem formato de sino.
  • As probabilidades pedidas são \mathbf{P}(0 \leq X \leq 1) e \mathbf{P}(1 \leq X \leq 2). Para comparar, vamos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(\cdot).
  • Fórmula útil: para a<b,
\mathbf{P}(a\le X\le b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Aplicaremos isso com os pares (a,b)=(0,1) e (1,2).

Passo 3

Item i — cálculo e intuição detalhada.
  • Calculemos as duas probabilidades usando \Phi:
\mathbf{P}(0\le X\le 1)=\Phi(1)-\Phi(0), \qquad \mathbf{P}(1\le X\le 2)=\Phi(2)-\Phi(1).
  • Sabemos que \Phi(0)=0,5. Valores tabelados ou conhecidos: \Phi(1)\approx 0,8413 e \Phi(2)\approx 0,9772.
  • Então
\mathbf{P}(0\le X\le 1)=0,8413-0,5=0,3413,
\mathbf{P}(1\le X\le 2)=0,9772-0,8413=0,1359.
  • Conclusão numérica: 0,3413\neq 0,1359, logo realmente não é verdade que as duas probabilidades sejam iguais.
Intuição geométrica (sem cálculo): a densidade da normal padrão é máxima em 0 e decresce conforme nos afastamos do centro; portanto um intervalo de comprimento 1 centrado mais próximo de 0 (isto é, [0,1]) captura mais área sob a curva do que um intervalo de mesmo comprimento mais afastado do centro (como [1,2]). Por isso \mathbf{P}(0\le X\le1)>\mathbf{P}(1\le X\le2).

Passo 4

Item ii — enunciado, fórmula e demonstração.
  • Considere uma amostra aleatória X_1,\dots,X_n de variáveis independentes e identicamente distribuídas (iid) com média \mu=\mathbf{E}(X_i) e variância \sigma^2=\operatorname{Var}(X_i) finita.
  • A média amostral é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
  • Propriedades fundamentais (essas são fórmulas que você deve conhecer e usar em provas):
    • \mathbf{E}(\bar{X})=\mu.
    • Se as X_i são independentes, então
    \operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)=n\sigma^2.
    • Daí
    \operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}.
  • A fórmula final é \displaystyle \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}. Dela segue diretamente que, mantendo \sigma^2 fixo, quando n aumenta, \operatorname{Var}(\bar{X}) diminui (proporcional a 1/n).
Exemplo numérico e intuição: se \sigma^2=1, então para n=4 a variância da média é 0,25; para n=100 é 0,01. Intuitivamente, ao aumentar a amostra, as flutuações médias se “cancelam” mais, tornando a média mais precisa (menor dispersão).
Observação prática: a fórmula assume independência e variância finita; em amostras sem reposição de populações finitas há um fator de correção, mas a tendência (maior n → menor variância da média) permanece.

Passo 5

Item iii — clarificar o que é “conservador” e comparar larguras de intervalos.
  • Primeiro, definir: um intervalo de confiança (IC) para uma proporção p é dito conservador quando a sua probabilidade de cobrir o verdadeiro p (a cobertura real) é, na prática, maior ou igual ao nível nominal 1-\alpha. Em outras palavras, um IC conservador tende a ter cobertura ≥ 1-\alpha. Isso costuma sair à custa de um intervalo mais largo.
  • Exemplo simples de duas construções:
    1. IC aproximado (não conservador) — intervalo de Wald com estimador \hat p:
    \hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.Aqui a margem de erro é z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
    2. IC conservador pelo pior caso — usar a máxima variância possível p(1-p)\le 0,25 (máx. ocorre em p=0,5). Se, ao construir um intervalo, substitui-se \hat p(1-\hat p) por 0,25 ou usa-se um método exato (como Clopper–Pearson), costuma-se obter um IC mais largo que assegura cobertura mínima.
  • Comparação direta das larguras: como \hat p(1-\hat p)\le 0,25, segue que
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\le \sqrt{\frac{0,25}{n}}.
Multiplicando por z_{1-\alpha/2} (positivo) mantém a desigualdade. Assim a margem do IC que usa \hat p é, em geral, menor ou igual à margem que usa o valor conservador 0,25. Logo o IC não conservador (que usa \hat p) é geralmente mais estreito do que o IC conservador (que usa o máximo da variância ou métodos exatos conservadores).

Passo 6

Item iii — exemplo numérico e observações práticas.
  • Exemplo: n=100, estimador \hat p=0,1 e nível 95\%, então z_{1-\alpha/2}\approx 1,96.
    • Margem (Wald não conservador):
    1,96\sqrt{\frac{0,1\cdot 0,9}{100}}=1,96\sqrt{\frac{0,09}{100}}=1,96\cdot 0,03\approx 0,0588.
    • Margem (conservadora usando 0,25):
    1,96\sqrt{\frac{0,25}{100}}=1,96\cdot 0,05\approx 0,098.
    • Percebe-se que o IC conservador é bem mais largo.
  • Observação importante: alguns ICs ditos “não conservadores” (como o intervalo de Wald em condições ruins) podem na prática ter cobertura menor que a nominal (subcovering), o que é uma desvantagem. Métodos intermediários (por exemplo, intervalo de Wilson) muitas vezes são não conservadores mas têm cobertura melhor na prática e ainda são mais estreitos que intervalos conservadores como Clopper–Pearson. A declaração do enunciado é sobre a tendência geral: IC não conservador costuma ser mais estreito do que um IC conservador que garante cobertura maior ou igual ao nominal.

Passo 7

Recapitulando brevemente (para dar confiança):
  • (i) usamos valores da função de distribuição da normal padrão e a forma da densidade para mostrar que \mathbf{P}(0\le X\le1)>\mathbf{P}(1\le X\le2).
  • (ii) usamos a fórmula \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n para mostrar que a variância da média decresce com n.
  • (iii) mostramos que, ao usar a variância máxima 0,25 ou métodos exatos conservadores, a margem de erro aumenta, logo IC conservador costuma ser mais largo que um IC não conservador.

Resposta

i. Verdadeira — \mathbf{P}(0\le X\le1)=\Phi(1)-\Phi(0)=0,3413 e \mathbf{P}(1\le X\le2)=\Phi(2)-\Phi(1)=0,1359, logo são diferentes.
ii. Verdadeira — \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}, que decresce quando n aumenta.
iii. Verdadeira — IC conservador (p.ex. usando p(1-p)=0,25 ou métodos exatos) tem margem maior; o IC que usa \hat p(1-\hat p) costuma ser mais estreito.

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