( 1,5 pontos) Todas as sentenças abaixo sāo verdadeiras. Explique por quê. Mencione fórmulas e/ou fasa uso de gráficos quando achar pertinente.
Observação: Cada item vale 0,5 pontos.
i. Se
então não é verdade que
.
ii. Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
iii. Um IC não conservador para proporção é geralmente mais estreito do que o IC conservador.
Observação: Cada item vale 0,5 pontos.
i. Se
ii. Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
iii. Um IC não conservador para proporção é geralmente mais estreito do que o IC conservador.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado afirma que as três sentenças abaixo são verdadeiras e pede explicação (mencionar fórmulas e/ou gráficos quando útil):
i. Se
então não é verdade que
.
ii. Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
iii. Um IC não conservador para proporção é geralmente mais estreito do que o IC conservador.
Agora vou explicar passo a passo por que cada uma é verdadeira, apresentando as fórmulas, intuição e exemplos numéricos.
Passo 2
Item i — entender o que é pedido e as ferramentas que vamos usar.
- O enunciado fala de
com distribuição normal padrão, ou seja . Isso significa que a função densidade de probabilidade é simétrica em torno de e tem formato de sino. - As probabilidades pedidas são
e . Para comparar, vamos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por . - Fórmula útil: para
,
Aplicaremos isso com os pares
e
.
Passo 3
Item i — cálculo e intuição detalhada.
- Calculemos as duas probabilidades usando
:
- Sabemos que
. Valores tabelados ou conhecidos: e . - Então
- Conclusão numérica:
, logo realmente não é verdade que as duas probabilidades sejam iguais.
Intuição geométrica (sem cálculo): a densidade da normal padrão é máxima em
e decresce conforme nos afastamos do centro; portanto um intervalo de comprimento 1 centrado mais próximo de 0 (isto é,
) captura mais área sob a curva do que um intervalo de mesmo comprimento mais afastado do centro (como
). Por isso
.
Passo 4
Item ii — enunciado, fórmula e demonstração.
- Considere uma amostra aleatória
de variáveis independentes e identicamente distribuídas (iid) com média e variância finita. - A média amostral é
- Propriedades fundamentais (essas são fórmulas que você deve conhecer e usar em provas):
-
. - Se as
são independentes, então
- Daí
-
- A fórmula final é
. Dela segue diretamente que, mantendo fixo, quando aumenta, diminui (proporcional a ).
Exemplo numérico e intuição: se
, então para
a variância da média é
; para
é
. Intuitivamente, ao aumentar a amostra, as flutuações médias se “cancelam” mais, tornando a média mais precisa (menor dispersão).
Observação prática: a fórmula assume independência e variância finita; em amostras sem reposição de populações finitas há um fator de correção, mas a tendência (maior
→ menor variância da média) permanece.
Passo 5
Item iii — clarificar o que é “conservador” e comparar larguras de intervalos.
- Primeiro, definir: um intervalo de confiança (IC) para uma proporção
é dito conservador quando a sua probabilidade de cobrir o verdadeiro (a cobertura real) é, na prática, maior ou igual ao nível nominal . Em outras palavras, um IC conservador tende a ter cobertura ≥ . Isso costuma sair à custa de um intervalo mais largo. - Exemplo simples de duas construções:
- IC aproximado (não conservador) — intervalo de Wald com estimador
:
Aqui a margem de erro é .
2. IC conservador pelo pior caso — usar a máxima variância possível(máx. ocorre em ). Se, ao construir um intervalo, substitui-se por ou usa-se um método exato (como Clopper–Pearson), costuma-se obter um IC mais largo que assegura cobertura mínima. - IC aproximado (não conservador) — intervalo de Wald com estimador
- Comparação direta das larguras: como
, segue que
Multiplicando por
(positivo) mantém a desigualdade. Assim a margem do IC que usa
é, em geral, menor ou igual à margem que usa o valor conservador
. Logo o IC não conservador (que usa
) é geralmente mais estreito do que o IC conservador (que usa o máximo da variância ou métodos exatos conservadores).
Passo 6
Item iii — exemplo numérico e observações práticas.
- Exemplo:
, estimador e nível , então . - Margem (Wald não conservador):
- Margem (conservadora usando
):
- Percebe-se que o IC conservador é bem mais largo.
- Observação importante: alguns ICs ditos “não conservadores” (como o intervalo de Wald em condições ruins) podem na prática ter cobertura menor que a nominal (subcovering), o que é uma desvantagem. Métodos intermediários (por exemplo, intervalo de Wilson) muitas vezes são não conservadores mas têm cobertura melhor na prática e ainda são mais estreitos que intervalos conservadores como Clopper–Pearson. A declaração do enunciado é sobre a tendência geral: IC não conservador costuma ser mais estreito do que um IC conservador que garante cobertura maior ou igual ao nominal.
Passo 7
Recapitulando brevemente (para dar confiança):
- (i) usamos valores da função de distribuição da normal padrão e a forma da densidade para mostrar que
. - (ii) usamos a fórmula
para mostrar que a variância da média decresce com . - (iii) mostramos que, ao usar a variância máxima
ou métodos exatos conservadores, a margem de erro aumenta, logo IC conservador costuma ser mais largo que um IC não conservador.
Resposta
i. Verdadeira —
e
, logo são diferentes.
ii. Verdadeira — , que decresce quando
aumenta.
iii. Verdadeira — IC conservador (p.ex. usando ou métodos exatos) tem margem maior; o IC que usa
costuma ser mais estreito.
ii. Verdadeira —
iii. Verdadeira — IC conservador (p.ex. usando