O tempo médio perdido em acidentes de trabalho numa determinada empresa tem sido de 60 h por semana. Suponha que o tempo perdido é normal com desvio padrão de 20 h . Foi implementado um programa educativo para diminuir essa média. Para verificar se o programa surtiu efeito, os tempos perdidos em acidentes de trabalho foram medidos em 9 semanas. ( 1 pt)
i) Escreva as hipóteses nula e alternativa associadas: \_ \_ \_ \_
ii) A probabilidade de erro tipo II é definida como:
(a) P( Decidir que a média é 60 \mid \mu \geq 60)
(b) P (Decidir que a média é 60 \mid \mu<60 ).
(c) P( Decidir que a média é inferior a 60 \mid \mu \geq 60)
(d) P( Decidir que a média é inferior a 60 \mid \mu<60)
(e) Valor p
(f) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tempo médio histórico: 60 horas por semana.
    • Supõe-se que o tempo perdido é normalmente distribuído com desvio padrão \sigma = 20 horas.
    • Após um programa educativo, mediram-se os tempos em n=9 semanas.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (i) Escrever as hipóteses nula e alternativa associadas ao teste para verificar se o programa diminuiu a média.
    2. (ii) Identificar, dentre as opções dadas, qual expressa corretamente a definição de erro tipo II.

Passo 2

Entendendo qual hipótese representa a situação: o programa foi feito para diminuir a média. Isso significa que a hipótese alternativa deve expressar que a média ficou menor que 60. Em testes de hipótese a convenção é colocar na hipótese alternativa o efeito que se quer detectar (a diminuição), e na hipótese nula a situação sem efeito (igualdade ou não diminuição). Assim, as hipóteses apropriadas são
H_0: \mu = 60
H_1: \mu < 60.
Observação pedagógica rápida: algumas vezes escreve-se H_0: \mu \ge 60 e H_1: \mu<60. Ambas as formas são usadas; a versão com igualdade simples H_0:\mu=60 é aceita e destaca a igualdade para a formulação do teste. O importante é que a hipótese alternativa seja unicamente a redução ( \mu<60).

Passo 3

Definição didática de erros:
  • Erro do tipo I (denotado normalmente por \alpha): rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira. Em palavras: concluir que a média é inferior a 60 quando na verdade \mu=60 (ou mais formalmente quando \mu\ge 60 se essa era a formulação).
  • Erro do tipo II (denotado por \beta): não rejeitar H_0 quando H_1 é verdadeira. Em palavras: falhar em detectar a diminuição — isto é, concluir que a média é 60 (ou não inferior) quando na verdade \mu<60.
Tradução útil para as frases das alternativas:
  • "Decidir que a média é 60" corresponde a não rejeitar H_0.
  • "Decidir que a média é inferior a 60" corresponde a rejeitar H_0.

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso caso (onde H_1: \mu<60):
  • Erro do tipo II = P(\text{não rejeitar }H_0 \mid H_1 \text{ é verdadeira})ãé.
  • Em linguagem das alternativas: isto é P(\text{Decidir que a média é }60 \mid \mu<60)éé.
Agora vou identificar qual letra entre as opções corresponde a isso:
  • (a) P(\text{Decidir que a média é }60 \mid \mu\ge 60)éé: isso é a probabilidade de não rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira — não é um erro (é a decisão correta), portanto não é o erro tipo II.
  • (b) P(\text{Decidir que a média é }60 \mid \mu<60)éé: isso é exatamente a probabilidade de não rejeitar H_0 quando a verdadeira média é menor que 60, ou seja, falhar em detectar a diminuição — é o erro tipo II.
  • (c) P(\text{Decidir que a média é inferior a }60 \mid \mu\ge 60)éé: isso é rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira — é erro tipo I.
  • (d) P(\text{Decidir que a média é inferior a }60 \mid \mu<60)éé: isso é a probabilidade de decidir corretamente pela diminuição quando ela existe — é o poder do teste (mais precisamente, parte do poder).
  • (e) Valor p: não é definição de erro tipo II.
  • (f) Nenhuma das anteriores: já vimos que (b) corresponde.

Passo 5

Conclusão e reforço: para o teste unilateral à esquerda com H_1: \mu<60, o erro tipo II mede a chance de não detectar essa queda quando ela realmente existe, ou seja, de manter a conclusão de que a média é 60 mesmo quando \mu<60. Portanto a opção correta é a (b).

Resposta

i) H_0: \mu = 60 e H_1: \mu < 60
ii) (b)

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