Calcular:
l a) integral dupla exp (sin (x)) cdot y d x d y 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= raizcos (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: integral dupla exp(sin(x)) cdot y , dx , dy, onde x varia de 0 a pi2 e y varia de 0 a raizcos(x). Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender como integrar funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Temos que x vai de 0 a pi2 e, para cada x, y vai de 0 a raizcos(x). Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando a função em relação a y. A função a ser integrada é exp(sin(x)) cdot y. Como exp(sin(x)) é constante em relação a y, podemos tratá-la como uma constante durante a integração.
integral0^raizcos(x) exp(sin(x)) cdot y , dy

Passo 4

Integrando exp(sin(x)) cdot y em relação a y:
exp(sin(x)) cdot integral0^raizcos(x) y , dy = exp(sin(x)) cdot [ y^22 ]0^raizcos(x)
= exp(sin(x)) cdot ( (raizcos(x))^22 - 0 ) = exp(sin(x)) cdot ( cos(x)2 )

Passo 5

Agora, substituímos o resultado de volta na integral em relação a x:
integral0^pi2 exp(sin(x)) cdot cos(x)2 , dx = 12 integral0^pi2 exp(sin(x)) cdot cos(x) , dx

Passo 6

Observamos que a integral integral exp(sin(x)) cdot cos(x) , dx pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar u = sin(x), então du = cos(x) , dx.

Passo 7

Substituindo na integral:
12 integralu(0)^u(pi2) exp(u) , du = 12 [ exp(u) ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale e - 12.

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