Calcule usando integrais duplas:
(2,5) integral0^1 integralx^1 e^-yy d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para calcular a seguinte integral dupla:
2,5 integral0^1 integralx^1 e^-yy , dy , dx
Conteúdo da Matéria: Estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em duas dimensões.
O que vamos precisar para resolver:
  1. Compreender como funciona a integração dupla.
  2. Saber trocar a ordem de integração, se necessário, para facilitar o cálculo.
  3. Aplicar técnicas de integração, possivelmente envolvendo substituição ou reconhecimento de integrais conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os limites de integração. A integral está definida sobre a região onde $ x $ varia de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ a 1. Isso nos dá uma região triangular no plano $ xy $.
Às vezes, trocar a ordem de integração facilita o cálculo. Vamos ver se é o caso aqui.

Passo 3

Vamos trocar a ordem das integrais. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a $ y $ de $ x $ a 1, e depois em relação a $ x $ de 0 a 1. Se trocarmos a ordem, $ y $ vai de 0 a 1, e para cada $ y $, $ x $ vai de 0 a $ y $.
Então, a integral fica assim:
y

Passo 4

Observamos que dentro da integral, a expressão e^-yy não depende de $ x $. Isso significa que podemos integrar em relação a $ x $ facilmente:
x

Passo 5

Agora, nossa integral ficou bem mais simples:
2,5 integral0^1 e^-y , dy
Vamos integrar $ e^{-y} $ em relação a $ y $:
e^-y
Aplicando os limites de 0 a 1:
y

Passo 6

Multiplicamos o resultado pela constante 2,5:
2,5 cdot (1 - 1e) = 2,5 (1 - 1e)

Resposta

O valor da integral é:
2,5 (1 - 1e)

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