Calcule usando integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para calcular a seguinte integral dupla:
Conteúdo da Matéria: Estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em duas dimensões.
O que vamos precisar para resolver:
- Compreender como funciona a integração dupla.
- Saber trocar a ordem de integração, se necessário, para facilitar o cálculo.
- Aplicar técnicas de integração, possivelmente envolvendo substituição ou reconhecimento de integrais conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os limites de integração. A integral está definida sobre a região onde $ x $ varia de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ a 1. Isso nos dá uma região triangular no plano $ xy $.
Às vezes, trocar a ordem de integração facilita o cálculo. Vamos ver se é o caso aqui.
Passo 3
Vamos trocar a ordem das integrais. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a $ y $ de $ x $ a 1, e depois em relação a $ x $ de 0 a 1. Se trocarmos a ordem, $ y $ vai de 0 a 1, e para cada $ y $, $ x $ vai de 0 a $ y $.
Então, a integral fica assim:
Passo 4
Observamos que dentro da integral, a expressão
não depende de $ x $. Isso significa que podemos integrar em relação a $ x $ facilmente:
Passo 5
Agora, nossa integral ficou bem mais simples:
Vamos integrar $ e^{-y} $ em relação a $ y $:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 6
Multiplicamos o resultado pela constante 2,5:
Resposta
O valor da integral é: