Calcular:
lim x -infty(1-1x)^3 x=

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(1-1xr)^3x
que é um caso clássico do tipo (1+u)^v com uto0 e vto-infty. Vamos usar a transformação via logaritmo natural, isto é, definir
L = limxto -infty3xlnl(1-1xr),
avaliar L e depois usar exp(L).

Passo 2

Escrevemos o logaritmo
lnl(1-1xr)
e usamos a expansão de Taylor para ln(1+u) quando uto0, com u=-tfrac1x. Logo
lnl(1-1xr) = -1x + Ol(tfrac1x^2r) quando xto -infty

Passo 3

Multiplicamos por 3x:
3xlnl(1-1xr) =3xl(-1x + O(tfrac1x^2)r) =-3 + Ol(tfrac1xr)
Como xto -infty, o termo O(tfrac1x) tende a zero. Portanto
L = limxto -infty3xlnl(1-1xr) = -3

Passo 4

Retornando à expressão original, temos
limxto -inftyl(1-1xr)^3x =expl(Lr) =exp(-3) =e^-3

Resposta

e^-3

Exercícios relacionados