Suponha que x=x(t) e y=y(r) sejam deriváveis até a 2^O ordem. Verifique que
dd t(t^2 d xd t)=2 t d xd t+t^2 d^2 xd t^2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo derivadas até segunda ordem de x=x(t):
ddtl(t^2,dxdtr) =2,t,dxdt+t^2,d^2xdt^2
O conteúdo principal aqui é a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto a duas funções de t: u(t)=t^2 e v(t)=dxdt. Segundo a regra do produto,
ddtl(u(t),v(t)r) =dudt,v(t)+u(t),dvdt
No nosso caso:
dudt=ddt(t^2)=2,t, dvdt=ddtl(dxdtr)=d^2xdt^2

Passo 3

Substituindo em
ddtl(t^2,dxdtr) =underbrace2,tdudt,dxdt +underbracet^2u(t),d^2xdt^2,
chegamos exatamente à expressão desejada.

Resposta

ddtl(t^2,dxdtr) =2,t,dxdt+t^2,d^2xdt^2

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