Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
a) \vec{f}(t)= \begin{cases}\frac{|t-3|}{t-3} \vec{i}+t^{2} \vec{j}, & t \neq 3 \\\\ 0, & t=3\end{cases}
em t=0 e t=3.
b) \vec{f}(t)=\left\{\begin{array}{l}t \operatorname{sen} \frac{1}{t} \vec{i}+\cos t \vec{j}, \quad t \neq 0 \\\ j, \quad t=0\end{array}\right.’
Passo 1
O enunciado pede para calcular limites e estudar continuidade de duas funções vetoriais em pontos dados. O conteúdo que vamos usar é que o limite de uma função vetorial existe se, e somente se, existir limite em cada componente, e que a função é contínua num ponto se o seu valor no ponto coincidir com o limite naquele ponto.
Passo 2
Análise de \vec f(t)=\bigl(\tfrac{|t-3|}{t-3}\bigr)\vec i + t^2\vec j em t=0.
Para t=0\neq3 vale
\vec f(0) =\frac{|0-3|}{0-3}\,\vec i + 0^2\,\vec j =\frac{3}{-3}\,\vec i + 0\,\vec j =-1\,\vec i.
Agora o limite componente a componente quando t\to0 é idêntico, pois a expressão é contínua para t\neq3. Logo
\lim_{t\to0}\vec f(t) =-1\,\vec i
e coincide com \vec f(0). Portanto \vec f é contínua em t=0.
Passo 3
Análise de \vec f em t=3.
Para t\neq3, a componente \vec i é \tfrac{|t-3|}{t-3}=\sgn(t-3). Assim
os quais são diferentes, logo o limite não existe em t=3. Além disso, \vec f(3)=\mathbf0 dá outra razão de descontinuidade.
Passo 4
Análise de \vec f(t)=t\sin\frac1t\,\vec i+\cos t\,\vec j para t\to0.
A componente \vec i satisfaz
\lim_{t\to0}t\sin\frac1t=0
pois \sin(1/t) é limitado em [-1,1] e multiplica t\to0. A componente \vec j satisfaz
\lim_{t\to0}\cos t = 1.
Logo
\lim_{t\to0}\vec f(t)=(0,\,1)=\vec j,
que coincide com o valor definido \vec f(0)=\vec j. Portanto a função é contínua em t=0.
Resposta
a) Em t=0: \lim_{t\to0}\vec f(t)=-\vec i e a função é contínua.
Em t=3: o limite não existe (há salto na componente \vec i), logo é descontinua.
b) Em t=0: \lim_{t\to0}\vec f(t)=\vec j e a função é contínua.