Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
a) \vec{f}(t)=t \vec{i}+\left(2 t^{2}-1\right) \vec{j}
b) \vec{g}(t)=\frac{2}{t} \vec{i}+\frac{2}{t+1} \vec{j}, t>0
c) \vec{h}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+4 t^{2} \vec{k}
d) \vec{v}(t)=\ln t \vec{i}+t \vec{j}+\vec{k}, t>0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar em 2D ou 3D a trajetória de uma partícula cuja posição em função do tempo t é dada por quatro campos vetoriais diferentes. O conteúdo principal é curva paramétrica: para cada caso precisamos pensar na relação entre as componentes x(t), y(t) (e z(t) quando há) e esboçar o lugar geométrico desses pontos, indicando direção e domínio de t.

Passo 2

O método geral é:
  1. Escrever as componentes x(t), y(t), ( z(t) se houver).
  2. Eliminar t (quando possível) para ver a curva em coordenadas cartesianas.
  3. Anotar o domínio de t e alguns pontos de referência.
  4. Identificar forma (reta, parábola, log, hipérbole…) e assíntotas, se existir.
  5. Desenhar o traço e colocar setas mostrando o sentido conforme t cresce.

Passo 3

Para \vec{f}(t)=t\,\vec{i}+\bigl(2t^{2}-1\bigr)\,\vec{j}: x=t, y=2t^{2}-1. Eliminando t, temos
y=2x^{2}-1,
que é uma parábola em 2D, vértice em (0,-1), “aberta” para cima. O ponto (0,-1) ocorre em t=0; para t>0 e t<0 a parábola cresce simetricamente. Setas sobre a curva apontam para longe do vértice, em ambas direções de x.

Passo 4

Para \vec{g}(t)=\frac{2}{t}\,\vec{i}+\frac{2}{t+1}\,\vec{j},\\ t>0: x=\tfrac{2}{t}, y=\tfrac{2}{t+1}. De t=\tfrac{2}{x} segue
y=\frac{2}{\tfrac{2}{x}+1}=\frac{2x}{2+x},
uma curva no primeiro quadrante. Quando t\to0^+, (x,y)\to(+\infty,2); quando t\to+\infty, (x,y)\to(0^+,0). Passa em (2,1) para t=1. Sem assíntotas verticais além de x=0 e horizontal y=2. Desenhar decaindo de cima à direita para baixo à esquerda, com setas no sentido de t crescente.

Passo 5

Para \vec{h}(t)=t\,\vec{i}+\vec{j}+4t^{2}\,\vec{k}: x=t, y=1, z=4t^{2}. Em 3D isso é uma parábola no plano paralelo a xz em que y fica fixo em 1. Projetando no plano xz, temos
z=4x^{2},\quad y=1.
Desenhar a parábola vertical no plano y=1 com setas para x crescente (e z subindo).

Passo 6

Para \vec{v}(t)=\ln t\,\vec{i}+t\,\vec{j}+\vec{k},\\ t>0: x=\ln t, y=t, z=1. Eliminando t obtém-se
x=\ln y,\quad z=1,
que é a curva logarítmica no plano z=1, só para y>0. Quando t\to0^+, (x,y)\to(-\infty,0^+); quando t\to+\infty, (x,y)\to(+\infty,+\infty). Desenhar essa curva crescente e apontar setas seguindo t.

Resposta

(a) Trajetória no plano xy dada por y=2x^{2}-1, parábola com vértice (0,-1) e setas para fora conforme t varia.
(b) Curva no primeiro quadrante descrita por y=\tfrac{2x}{2+x}, decaindo de (+\infty,2) a (0,0), setas no sentido de t crescente.
(c) Parábola 3D no plano y=1, dada por z=4x^{2}, com setas indicando x=t crescente.
(d) Curva logarítmica em z=1, x=\ln y, para y>0, com setas indo de (-\infty,0^+) a (+\infty,+\infty).

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