Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar em 2D ou 3D a trajetória de uma partícula cuja posição em função do tempo
é dada por quatro campos vetoriais diferentes. O conteúdo principal é curva paramétrica: para cada caso precisamos pensar na relação entre as componentes
,
(e
quando há) e esboçar o lugar geométrico desses pontos, indicando direção e domínio de
.
Passo 2
O método geral é:
- Escrever as componentes
, , ( se houver). - Eliminar
(quando possível) para ver a curva em coordenadas cartesianas. - Anotar o domínio de
e alguns pontos de referência. - Identificar forma (reta, parábola, log, hipérbole…) e assíntotas, se existir.
- Desenhar o traço e colocar setas mostrando o sentido conforme
cresce.
Passo 3
Para
:
,
. Eliminando
, temos
que é uma parábola em 2D, vértice em
, “aberta” para cima. O ponto
ocorre em
; para
e
a parábola cresce simetricamente. Setas sobre a curva apontam para longe do vértice, em ambas direções de
.
Passo 4
Para
:
,
. De
segue
uma curva no primeiro quadrante. Quando
,
; quando
,
. Passa em
para
. Sem assíntotas verticais além de
e horizontal
. Desenhar decaindo de cima à direita para baixo à esquerda, com setas no sentido de
crescente.
Passo 5
Para
:
,
,
. Em 3D isso é uma parábola no plano paralelo a
em que
fica fixo em
. Projetando no plano
, temos
Desenhar a parábola vertical no plano
com setas para
crescente (e
subindo).
Passo 6
Para
:
,
,
. Eliminando
obtém-se
que é a curva logarítmica no plano
, só para
. Quando
,
; quando
,
. Desenhar essa curva crescente e apontar setas seguindo
.
Resposta
(a) Trajetória no plano
dada por
, parábola com vértice
e setas para fora conforme
varia.
(b) Curva no primeiro quadrante descrita por , decaindo de
a
, setas no sentido de
crescente.
(c) Parábola 3D no plano , dada por
, com setas indicando
crescente.
(d) Curva logarítmica em ,
, para
, com setas indo de
a
.
(b) Curva no primeiro quadrante descrita por
(c) Parábola 3D no plano
(d) Curva logarítmica em