Calcular os limites abaixo.
\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{2-t+\operatorname{sen} t}{t+\cos t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\to -\infty}\frac{2 - t + \sin t}{t + \cos t}.
Este é um limite no infinito de uma razão de funções em que \sin t e \cos t são termos oscilatórios e limitados. Vamos usar a ideia de fatorar o termo dominante t no numerador e no denominador.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por t:
\frac{2 - t + \sin t}{t + \cos t} = \frac{t\Bigl(-1 + \frac{2 + \sin t}{t}\Bigr)}{t\Bigl(1 + \frac{\cos t}{t}\Bigr)} = \frac{-1 + \dfrac{2 + \sin t}{t}}{1 + \dfrac{\cos t}{t}}.

Passo 3

Observamos que, quando t\to -\infty,
\frac{2}{t}\to 0,\quad \frac{\sin t}{t}\to 0,\quad \frac{\cos t}{t}\to 0
porque 2, \sin t e \cos t são funções limitadas enquanto t cresce em módulo.

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão obtida, temos
\lim_{t\to -\infty}\frac{-1 + \frac{2 + \sin t}{t}}{1 + \frac{\cos t}{t}} = \frac{-1 + 0}{1 + 0} = -1.

Resposta

-1

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