Encontrar o limite de cada função quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{e} (b) x \rightarrow-\infty.
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3}

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos as assíntotas horizontais de uma função racional \displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3}
quando (a) x\to\infty e (b) x\to-\infty.
O conteúdo aqui é “limites no infinito de funções racionais” e usaremos a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior grau de x, que é x^2.

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to\infty}f(x), dividimos numerador e denominador por x^2:
f(x) =\frac{x+1}{x^2+3} =\frac{\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3}{x^2}} =\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}.
À medida que x\to\infty, temos \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^2}\to0, logo o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Portanto,
\lim_{x\to\infty}f(x)=0.

Passo 3

Para \lim_{x\to-\infty}f(x), usamos a mesma expressão \displaystyle f(x)=\frac{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^2}}{1+\tfrac{3}{x^2}}.
Quando x\to-\infty, note que \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^2}\to0 também, então o numerador vai a 0 e o denominador a 1. Assim,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.

Resposta

(a) \displaystyle 0
(b) \displaystyle 0

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