Calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
É um limite de função exponencial para x muito negativo; vamos explorar que e^{x}\to0 e e^{-x}\to+\infty quando x\to -\infty e simplificar a expressão.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por e^{-x}, de forma a obter termos que se anulem ou tendam a constantes:
\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} =\frac{\frac{e^{x}}{e^{-x}}-\frac{e^{-x}}{e^{-x}}}{\frac{e^{x}}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}} =\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.

Passo 3

Quando x\to -\infty temos e^{2x}\to0. Substituindo no numerador e no denominador da fração:
o numerador e^{2x}-1\to -1 e o denominador e^{2x}+1\to 1.
Portanto,
\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} =\frac{-1}{1}=-1.

Resposta

-1

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