Determinar os limites abaixo
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\operatorname{tg}x.
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica em ponto de descontinuidade (assíntota vertical). Vamos usar que \operatorname{tg}x = \dfrac{\sin x}{\cos x}
e analisar separadamente o comportamento de \sin x e de \cos x quando x se aproxima de \pi/2 pela direita.

Passo 2

Para x\to(\pi/2)^{+}:
\sin x é contínua em \pi/2 e \sin(\pi/2)=1, logo \sin x\to1.
\cos x é contínua em \pi/2 e \cos(\pi/2)=0, mas para x>\pi/2 suficientemente perto de \pi/2, \cos x é negativo. Assim \cos x\to0^-.

Passo 3

Como
\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x},
ao dividirmos um número que tende a 1 por um número que tende a 0^-, o quociente tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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