Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x 0 2^x-1x

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular limxto0 2^x - 1x. O conteúdo envolve limites de funções exponenciais e vamos usar a definição de exponencial em termos de e e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade 2^x = e^xln 2. Assim, o numerador 2^x -1 fica e^xln2 -1. Ao substituir na expressão, obtemos
limxto0 e^xln2 -1x
Percebemos que podemos introduzir a variável intermediária u = xln2.

Passo 3

Quando xto0, temos uto0. Reescrevemos então o limite como
e^xln2-1x = e^u-1ucdotux
e, portanto,
limxto0 e^xln2 -1x = limuto0e^u-1u cdot limxto0ux . Sabemos que limuto0e^u-1u = 1 e
limxto0 ux = limxto0 xln2x = ln2
Logo, o produto dos limites é 1cdotln2 = ln2.

Resposta

ln2

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