Calcular os limites abaixo, usando as propriedades dos limites:
lim x infty(x1+x)^x

Passo 1

O exercício pede calcular o limite limx to infty l(tfracx1+xr)^x. Isso envolve limites do tipo exponencial em que tanto a base quanto o expoente variam. Para resolver, vamos usar a propriedade de transformar potências em produto por logaritmo: lim y = e^lim ln y.

Passo 2

Definindo y = l(tfracx1+xr)^x, aplicamos o logaritmo natural para obter
ln y = x ln!l(x1+xr)

Passo 3

Simplificando o argumento do logaritmo: x1+x = 11 + tfrac1x. Logo,
ln y = x ln!l(11 + tfrac1xr) = -x ln!l(1 + tfrac1xr)

Passo 4

Agora analisamos
L = limx to infty ln y = limx to infty l(-x ln(1 + tfrac1x)r)
Fazendo a troca t = 1/x, com t to 0^+, usamos a expansão ln(1+t) sim t. Assim,
L = limt to 0^+ l(-tfrac1t cdot tr) = -1

Passo 5

Como lim ln y = -1, concluímos que
limx to infty y = exp(lim ln y) = e^-1 = 1e

Resposta

tfrac1e

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