Se
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, use o Teorema de Green para mostrar que
Sugestão: Construa um triângulo retângulo tendo
como sua hipotenusa. Em seguida aplique 0 Teorema de Green para o conjunto
dado pelo interior do triângulo. Recorde ainda o resultado que permite calcular a área de um conjunto utilizando a integral de linha de uma 1 -forma diferencial.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para usar o Teorema de Green em um segmento de reta que liga dois pontos no plano, $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $. O objetivo é mostrar que a integral de linha $ \int_{C} x , dy - y , dx $ é igual a $ x_1 y_2 - x_2 y_1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a um triângulo retângulo formado por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área interior dessa curva. Mais formalmente:
No nosso caso, $ P = -y $ e $ Q = x $. Precisamos também construir um triângulo retângulo com $ C $ como hipotenusa para formar uma curva fechada.
Passo 3
Vamos construir o triângulo retângulo. Imagine que além dos pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, temos os outros dois vértices do triângulo em $ (x_1, y_2) $ e $ (x_2, y_1) $. Assim, as arestas do triângulo serão:
- De $ (x_1, y_1) $ a $ (x_1, y_2) $
- De $ (x_1, y_2) $ a $ (x_2, y_2) $
- De $ (x_2, y_2) $ a $ (x_2, y_1) $
- De $ (x_2, y_1) $ de volta a $ (x_1, y_1) $ via $ C $
Passo 4
Agora que temos a curva fechada, vamos aplicar o Teorema de Green. Primeiro, calculamos $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
Portanto:
Passo 5
A integral dupla sobre a área $ D $ do triângulo é:
A área de um triângulo retângulo é $ \frac{1}{2} \times base \times altura $. Neste caso:
Então:
Multiplicando por 2:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Mas precisamos lembrar que, na orientação correta da curva, o sinal é preservado, portanto: