Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), use o Teorema de Green para mostrar que
integralC x d y-y d x=x1 y2-x2 y1
Sugestão: Construa um triângulo retângulo tendo C como sua hipotenusa. Em seguida aplique 0 Teorema de Green para o conjunto D dado pelo interior do triângulo. Recorde ainda o resultado que permite calcular a área de um conjunto utilizando a integral de linha de uma 1 -forma diferencial.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para usar o Teorema de Green em um segmento de reta que liga dois pontos no plano, $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $. O objetivo é mostrar que a integral de linha $ \int_{C} x , dy - y , dx $ é igual a $ x_1 y_2 - x_2 y_1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a um triângulo retângulo formado por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área interior dessa curva. Mais formalmente:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, $ P = -y $ e $ Q = x $. Precisamos também construir um triângulo retângulo com $ C $ como hipotenusa para formar uma curva fechada.

Passo 3

Vamos construir o triângulo retângulo. Imagine que além dos pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, temos os outros dois vértices do triângulo em $ (x_1, y_2) $ e $ (x_2, y_1) $. Assim, as arestas do triângulo serão:
  1. De $ (x_1, y_1) $ a $ (x_1, y_2) $
  2. De $ (x_1, y_2) $ a $ (x_2, y_2) $
  3. De $ (x_2, y_2) $ a $ (x_2, y_1) $
  4. De $ (x_2, y_1) $ de volta a $ (x_1, y_1) $ via $ C $

Passo 4

Agora que temos a curva fechada, vamos aplicar o Teorema de Green. Primeiro, calculamos $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
Portanto:
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1

Passo 5

A integral dupla sobre a área $ D $ do triângulo é:
D Áâ
A área de um triângulo retângulo é $ \frac{1}{2} \times base \times altura $. Neste caso:
integral duplaD 2 , dA = 2 times Área do triângulo
12 times base times a
Então:
base = |x2 - x1| Á
Multiplicando por 2:
a

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC x , dy - y , dx = |x2 - x1| |y2 - y1|
Mas precisamos lembrar que, na orientação correta da curva, o sinal é preservado, portanto:
integralC x , dy - y , dx = x1 y2 - x2 y1

Resposta

integralC x , dy - y , dx = x1 y2 - x2 y1

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