Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow 4}\left(e^{x}+4 x\right) \cdot 2^{4}+16

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 4:
\lim_{x\to 4}\bigl(e^{x}+4x\bigr)\cdot 2^{4}+16.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável que tende a um valor é x e o ponto é x=4.
  • A expressão envolvida é \bigl(e^{x}+4x\bigr)\cdot 2^{4}+16.
  • 2^{4} e 16 são números constantes (não dependem de x).

Passo 2

Lembrete das propriedades de limites que vamos usar (essas são regras básicas e muito úteis na prova):
  • Soma: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x), se os limites existem.
  • Produto por constante: \displaystyle \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x) para constante c.
  • Produto: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x), se os limites existem.
  • Continuidade (substituição): funções contínuas no ponto permitem calcular o limite substituindo x=a. Em particular, e^{x} é contínua em todo \mathbb{R} e 4x (polinômio) também é contínuo.

Passo 3

Calcular 2^{4} porque é uma constante:
2^{4}=16.
Assim a expressão do limite fica
\lim_{x\to 4}\bigl(e^{x}+4x\bigr)\cdot 16 + 16.

Passo 4

Aplicar as propriedades de limites para separar termos e fatores:
\lim_{x\to 4}\bigl[(e^{x}+4x)\cdot 16 + 16\bigr] = \lim_{x\to 4}\bigl[(e^{x}+4x)\cdot 16\bigr] + \lim_{x\to 4}16.
Como 16 é constante,
\lim_{x\to 4}16 = 16.
E pelo produto por constante,
\lim_{x\to 4}\bigl[(e^{x}+4x)\cdot 16\bigr] = 16\cdot\lim_{x\to 4}\bigl(e^{x}+4x\bigr).

Passo 5

Agora usar a propriedade da soma e a continuidade de e^{x} e 4x:
\lim_{x\to 4}\bigl(e^{x}+4x\bigr)=\lim_{x\to 4}e^{x}+\lim_{x\to 4}4x = e^{4}+4\cdot 4.
Calcular 4\cdot 4:
4\cdot 4 = 16.
Portanto
\lim_{x\to 4}\bigl(e^{x}+4x\bigr)=e^{4}+16.

Passo 6

Retornando à expressão completa do limite:
\lim_{x\to 4}\bigl[(e^{x}+4x)\cdot 16 + 16\bigr] =16\cdot\bigl(e^{4}+16\bigr)+16.
Fazer as contas:
16\cdot\bigl(e^{4}+16\bigr)+16 = 16e^{4}+16\cdot 16 +16 = 16e^{4}+256+16.
Somando os termos constantes:
256+16=272.
Logo o limite é
16e^{4}+272.
Também se pode escrever factorizando 16:
16\bigl(e^{4}+17\bigr).

Resposta

16e^{4}+272

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