Resolva as equações diferenciais do tipo de Clairaut a seguir e determine também a solução singular quando existir.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar as soluções da equação e também a solução singular quando existir.
Informações e o que é pedido:
- A equação relaciona
, e . - Deve-se encontrar a família geral de soluções (aquelas com constante arbitrária) e a eventual solução singular (a curva envelope das retas da família).
Passo 2
Primeiro vamos usar uma notação mais prática: seja
. Assim a equação fica
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Vou explicar com calma como diferenciar cada termo:
- A derivada do lado esquerdo é
. - Para o termo
usamos a regra do produto: , onde . - Para
usamos a regra da cadeia: .
Diferenciando a equação obtemos
Passo 3
Simplificando a equação obtida:
Isto dá duas possibilidades, que vamos tratar separadamente:
-
; -
.
Passo 4
Caso 1:
.
Se então
é constante:
, com
. Substituindo na equação original
obtemos a família de retas
Se
onde
é a constante parâmetro (a inclinação da reta). Esta é a solução geral (família de soluções) do tipo Clairaut: cada
dá uma solução particular.
Exemplo rápido para fixar: se
a solução é
; se
a solução é
.
Passo 5
Caso 2:
.
Aqui não é constante; em vez disso temos uma relação entre
e
:
Aqui
Voltando à expressão original
e substituindo
obtemos a representação paramétrica (em que o parâmetro é
):
Essa curva dada parametricamente por
é a solução singular (é o envelope das retas da família
).
Passo 6
Podemos também eliminar o parâmetro para escrever a solução singular explicitamente em função de
. Da relação
temos
, o que exige
. Tomando
com
(essa escolha garante
), e usando
, obtemos
Ambas as formas são aceitáveis: a forma paramétrica
ou a forma explícita acima.
Passo 7
Verificação rápida (mostrando que a singular realmente satisfaz a equação): usando a forma paramétrica, calcule
portanto
. Logo
e a relação
implica
, ou seja, a curva paramétrica satisfaz a equação original. Isso confirma que é solução válida (e não faz parte da família linear obtida quando
é constante).
Resposta
Solução geral:
Solução singular:
Solução singular: