Resolva as equações diferenciais do tipo de Clairaut a seguir e determine também a solução singular quando existir.
y=x y^{\prime}+\sin \left(y^{\prime}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x\,y' + \sin\!\bigl(y'\bigr)
e pede para encontrar as soluções da equação e também a solução singular quando existir.
Informações e o que é pedido:
  • A equação relaciona y, x e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Deve-se encontrar a família geral de soluções (aquelas com constante arbitrária) e a eventual solução singular (a curva envelope das retas da família).

Passo 2

Primeiro vamos usar uma notação mais prática: seja p(x)=y'(x). Assim a equação fica
y = x p + \sin(p).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Vou explicar com calma como diferenciar cada termo:
  • A derivada do lado esquerdo é y'=\;p.
  • Para o termo x p usamos a regra do produto: \dfrac{d}{dx}(x p)=p + x p', onde p'=\dfrac{dp}{dx}.
  • Para \sin(p) usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\sin(p)=\cos(p)\,p'.
Diferenciando a equação obtemos
p = p + x p' + \cos(p)\,p'.

Passo 3

Simplificando a equação obtida:
p = p + \bigl(x + \cos(p)\bigr)p' \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x + \cos(p)\bigr)p' = 0.
Isto dá duas possibilidades, que vamos tratar separadamente:
  1. p'=0;
  2. x + \cos(p)=0.

Passo 4

Caso 1: p'=0.
Se p' = 0 então p é constante: p=c, com c\in\mathbb{R}. Substituindo na equação original \;y = x p + \sin(p)\; obtemos a família de retas
y = c x + \sin\text{(c)},
onde c é a constante parâmetro (a inclinação da reta). Esta é a solução geral (família de soluções) do tipo Clairaut: cada c dá uma solução particular.
Exemplo rápido para fixar: se c=0 a solução é y=0; se c=1 a solução é y = x + \sin(1).

Passo 5

Caso 2: x + \cos(p)=0.
Aqui p não é constante; em vez disso temos uma relação entre x e p:
x = -\cos(p).
Voltando à expressão original y = x p + \sin(p) e substituindo x obtemos a representação paramétrica (em que o parâmetro é p):
x = -\cos(p),\qquad y = -p\cos(p) + \sin(p).
Essa curva dada parametricamente por p é a solução singular (é o envelope das retas da família y=cx+\sin c).

Passo 6

Podemos também eliminar o parâmetro para escrever a solução singular explicitamente em função de x. Da relação x=-\cos(p) temos \cos(p)=-x, o que exige |x|\le 1. Tomando p=\operatorname{arccos}(-x) com p\in[0,\pi] (essa escolha garante \sin p\ge0), e usando \sin(\operatorname{arccos}(-x))=\sqrt{1-x^{2}}, obtemos
y(x)=x\,\operatorname{arccos}(-x)+\sqrt{1-x^{2}},\qquad -1\le x\le 1.
Ambas as formas são aceitáveis: a forma paramétrica \bigl(x=-\cos p,\;y=-p\cos p+\sin p\bigr) ou a forma explícita acima.

Passo 7

Verificação rápida (mostrando que a singular realmente satisfaz a equação): usando a forma paramétrica, calcule
\frac{dx}{dp}=\sin(p),\qquad \frac{dy}{dp}=p\sin(p),
portanto \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dp}{dx/dp}=p. Logo y' = p e a relação x=-\cos p implica y = x p + \sin p, ou seja, a curva paramétrica satisfaz a equação original. Isso confirma que é solução válida (e não faz parte da família linear obtida quando p é constante).

Resposta

Solução geral: y = c x + \sin\text{(c)},\quad c\in\mathbb{R}
Solução singular: y(x)=x\,\operatorname{arccos}(-x)+\sqrt{1-x^{2}},\quad -1\le x\le 1

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