Resolva as equações diferenciais do tipo de Clairaut a seguir e determine também a solução singular quando existir.
y=x y^{\prime}+2 \ln \left(y^{\prime}\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é a equação diferencial
y = x\,y' + 2\ln\bigl(y'\bigr).
As perguntas implícitas são:
  • Determinar a família geral de soluções da equação diferencial.
  • Determinar a solução singular (quando existir).
Informações importantes dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve \ln\bigl(y'\bigr), portanto para soluções reais é necessário ter y'>0 nos pontos considerados.

Passo 2

Identificação do método (por que este método funciona).
Observando a equação, ela tem a forma
y = x p + f(p),
onde p=y' e f(p)=2\ln(p). Essa é exatamente a forma clássica cujas soluções se obtêm impondo ou p= constante (retas) ou buscando a envelope das retas através da condição x+f'(p)=0. Vou aplicar esse método padrão; ele é o mais direto aqui.

Passo 3

Derivando a equação em relação a x para obter uma relação útil entre p e p'=\dfrac{dp}{dx}.
Partindo de
y = x p + f(p),
derivando ambos os lados em relação a x (lembrando que p=p(x) e y'=p) obtemos
y' = p + x p' + f'(p)\,p'.
Como y'=p, o lado esquerdo e o primeiro termo do direito se cancelam, sobrando
0 = \bigl(x + f'(p)\bigr)\,p'.
Essa equação implica duas possibilidades que devemos analisar separadamente:
\text{(i)}\\ p'=0 \quad\text{ou}\quad \text{(ii)}\\ x + f'(p)=0.

Passo 4

Caso (i): p'=0 (ou seja p constante) — obtendo a família geral de retas.
Se p' = 0 então p é uma constante, escrevemos p=C (constante real). Substituindo p=C na equação original
y = x p + 2\ln(p)
temos
y = C x + 2\ln\text{(C)}.
Observação sobre domínio: como aparece \ln\text{(C)}, exigimos C>0 para que a expressão seja real. Portanto a família geral de soluções é a família de retas
y = C x + 2\ln\text{(C)},\qquad C>0.
Essas são as soluções singulares por parâmetro C (cada uma é uma solução particular da EDO).

Passo 5

Caso (ii): x + f'(p)=0 — obtendo a solução singular (envelope).
Calculemos f'(p). Como f(p)=2\ln(p) temos
f'(p)=\frac{2}{p}.
A condição x + f'(p)=0 fica
x + \frac{2}{p}=0.
Desse modo
x = -\frac{2}{p}\quad\Longrightarrow\quad p = -\frac{2}{x}.
Como antes tomamos p=y' e para a equação original \ln(p) exige p>0, então desta expressão obtemos a restrição -\dfrac{2}{x}>0, isto é x<0. Portanto a solução singular — se real — só pode existir para x<0.

Passo 6

Encontrar a expressão de y da solução singular substituindo p=-\dfrac{2}{x} na fórmula y = x p + 2\ln(p).
Substituindo:
y = x\Bigl(-\frac{2}{x}\Bigr) + 2\ln\Bigl(-\frac{2}{x}\Bigr).
Simplificando o primeiro termo:
y = -2 + 2\ln\Bigl(-\frac{2}{x}\Bigr).
Lembrando a restrição de domínio x<0, aí dentro do logaritmo o argumento -\dfrac{2}{x} é positivo, então a expressão é bem definida e real. Além disso, a derivada desta função é
y' = -\frac{2}{x},
que coincide com p usado, portanto é uma solução válida da equação diferencial no domínio x<0. Essa curva é a envelope da família de retas y=Cx+2\ln C.

Passo 7

Resumo interpretativo e checagem final.
  • A família y = C x + 2\ln\text{(C)} com C>0 são soluções gerais (retas com coeficiente angular positivo).
  • A condição de envelope levou a p=-\dfrac{2}{x} e, substituindo, obteve-se a solução singular
y = -2 + 2\ln\Bigl(-\dfrac{2}{x}\Bigr),
válida para x<0. Verificou-se que nessa curva y'=-\dfrac{2}{x}>0, compatível com a condição de existência do logaritmo.

Resposta

y = C x + 2\ln\text{(C)},\quad C>0\n
y = -2 + 2\ln\Bigl(-\dfrac{2}{x}\Bigr),\quad x<0

Exercícios relacionados