Resolva as equações diferenciais do tipo de Clairaut a seguir e determine também a solução singular quando existir.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é a equação diferencial
As perguntas implícitas são:
- Determinar a família geral de soluções da equação diferencial.
- Determinar a solução singular (quando existir).
Informações importantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação envolve
, portanto para soluções reais é necessário ter nos pontos considerados.
Passo 2
Identificação do método (por que este método funciona).
Observando a equação, ela tem a forma
Observando a equação, ela tem a forma
onde
e
. Essa é exatamente a forma clássica cujas soluções se obtêm impondo ou
constante (retas) ou buscando a envelope das retas através da condição
. Vou aplicar esse método padrão; ele é o mais direto aqui.
Passo 3
Derivando a equação em relação a
para obter uma relação útil entre
e
.
Partindo de
Partindo de
derivando ambos os lados em relação a
(lembrando que
e
) obtemos
Como
, o lado esquerdo e o primeiro termo do direito se cancelam, sobrando
Essa equação implica duas possibilidades que devemos analisar separadamente:
Passo 4
Caso (i):
(ou seja
constante) — obtendo a família geral de retas.
Se então
é uma constante, escrevemos
(constante real). Substituindo
na equação original
Se
temos
Observação sobre domínio: como aparece
, exigimos
para que a expressão seja real. Portanto a família geral de soluções é a família de retas
Essas são as soluções singulares por parâmetro
(cada uma é uma solução particular da EDO).
Passo 5
Caso (ii):
— obtendo a solução singular (envelope).
Calculemos . Como
temos
Calculemos
A condição
fica
Desse modo
Como antes tomamos
e para a equação original
exige
, então desta expressão obtemos a restrição
, isto é
. Portanto a solução singular — se real — só pode existir para
.
Passo 6
Encontrar a expressão de
da solução singular substituindo
na fórmula
.
Substituindo:
Substituindo:
Simplificando o primeiro termo:
Lembrando a restrição de domínio
, aí dentro do logaritmo o argumento
é positivo, então a expressão é bem definida e real. Além disso, a derivada desta função é
que coincide com
usado, portanto é uma solução válida da equação diferencial no domínio
. Essa curva é a envelope da família de retas
.
Passo 7
Resumo interpretativo e checagem final.
- A família
com são soluções gerais (retas com coeficiente angular positivo). - A condição de envelope levou a
e, substituindo, obteve-se a solução singular
válida para
. Verificou-se que nessa curva
, compatível com a condição de existência do logaritmo.