Calcular os limites pedidos (não pode ser usada a regra de LHospital):
lim x pi6 1-sen^6 xcos ^2 x

Passo 1

Estamos calculando limxtopi/6 1-sin^6 xcos^2 x. Este é um limite de funções trigonométricas, e para resolvê-lo sem usar a regra de L’Hospital vamos usar identidades e fatorações.

Passo 2

Usamos a fatoração:
1-sin^6 x = (1-sin^2 x)(1+sin^2 x+sin^4 x)
e a identidade trigonométrica:
1-sin^2 x = cos^2 x

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos:
1-sin^6 xcos^2 x = cos^2 x,(1+sin^2 x+sin^4 x)cos^2 x = 1 + sin^2 x + sin^4 x

Passo 4

Agora basta calcular no ponto x=pi/6. Como sin(pi/6)=1/2, temos sin^2(pi/6)=1/4 e sin^4(pi/6)=1/16

Passo 5

Finalmente, a soma dos termos é:
1 + 14 + 116 = 2116

Resposta

21/16

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