Usando a regra de LHospital, calcular os limites:
lim x 0 e^x-e^-x-2 sen xx sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limx to 0 dfrace^x-e^-x-2sin xxsin x. O conteúdo aqui é a regra de L’Hôpital para indeterminações do tipo 0/0, e vamos precisar derivar numerador e denominador até obter um limite que dê para avaliar.

Passo 2

Primeiro, verificamos o tipo de indeterminação. Avaliando em x=0: o numerador e^0 - e^0 -2sin0 = 1-1-0 = 0 e o denominador 0cdotsin0 = 0. Temos 0/0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxto0f(x)g(x) = limxto0f'(x)g'(x)
quando o limite da derivada existir.

Passo 3

Agora derivamos uma vez. No numerador:
ddxl(e^x - e^-x -2sin xr) = e^x + e^-x -2cos x
e no denominador:
ddxl(xsin xr) = sin x + xcos x
Então o limite vira
limxto0e^x + e^-x -2cos xsin x + xcos x
Avaliando em 0 dá de novo 0/0, então repetimos L’Hôpital.

Passo 4

Derivando pela segunda vez, no numerador:
ddxl(e^x + e^-x -2cos xr) = e^x - e^-x + 2sin x
e no denominador:
ddxl(sin x + xcos xr) = 2cos x - xsin x
Logo o limite é
limxto0e^x - e^-x + 2sin x2cos x - xsin x
Agora, em x=0, o numerador vale 1 - 1 + 0 = 0 e o denominador vale 2, resultando em 0/2 = 0.

Resposta

0

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