Calcular os limites seguintes:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função
\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} definida para (x,y)\neq(0,0).
  • Queremos o valor de \displaystyle\lim_{\substack{x\to0 \\\ y\to0}} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, isto é, o limite de f(x,y) quando o ponto (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho no plano.

Passo 2

Primeiro experimento: testar alguns caminhos simples (isso pode sugerir um valor, mas não prova que o limite exista para todos os caminhos).
Tomemos a reta y=kx com k constante. Substituindo:
\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x\cdot (k x)^{2}}{x^{2}+(k x)^{2}} =\frac{k^{2} x^{3}}{x^{2}(1+k^{2})} =\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\,x.
Ao fazer x\to0 obtemos 0. Então, ao longo de qualquer reta y=kx o valor tende a 0. Isso é um bom indício, mas não suficiente: precisamos garantir que qualquer caminho (não só retas) leve ao mesmo valor.

Passo 3

Método robusto: usar coordenadas polares. Defina
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 e \theta é o ângulo. Note que (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^{+} (o ângulo \theta pode variar). Substituindo na função:
\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}} =\frac{r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}} =r\cos\theta\sin^{2}\theta.

Passo 4

Analisar o módulo e aplicar desigualdade para controlar o valor quando r é pequeno:
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| =\left|r\cos\theta\sin^{2}\theta\right| \le r\cdot|\cos\theta|\cdot\sin^{2}\theta \le r\cdot 1\cdot 1 = r,
pois |\cos\theta|\le1 e \sin^{2}\theta\le1. Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), a quantidade à esquerda fica menor ou igual a r que tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), segue que
\lim_{\substack{x\to0 \\\ y\to0}} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 5

(Prova \varepsilon- \delta rápida, para ser rigoroso) Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pela desigualdade do passo anterior,
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon,
logo a definição \varepsilon- \delta de limite é satisfeita e o limite é 0.

Resposta

0

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