A função envolvida é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
O ponto onde o par (x,y) se aproxima é (0,1).
Passo 2
Verificar se há algum problema óbvio no ponto (por exemplo, denominador zero).
Calcular o denominador em (0,1):
0^{2}+1^{2}=1\neq 0.
Como o denominador não se anula no ponto de interesse, a expressão é bem definida em (0,1) e não há singularidade aí. Isso é informação importante: não precisamos nos preocupar com divisão por zero ao avaliar o limite.
Passo 3
Lembrar e usar propriedades básicas de limites em várias variáveis (aulas rápidas e intuitivas).
Regra prática: se \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} h(x,y)=M com M\neq 0, então
Outra propriedade útil: somas, produtos e potências preservam limites quando os limites das partes existem. Por exemplo, \lim (u+v)=\lim u+\lim v, \lim (u\cdot v)=(\lim u)(\lim v), e \lim(u^2)=(\lim u)^2, desde que os limites existam.
Essas regras são consequência da continuidade das funções polinomiais (e das operações aritméticas) em pontos onde tudo está bem definido.
Passo 4
Calcular separadamente o limite do numerador e do denominador.
Intuição adicional e controle (opcional, para ficar mais seguro na prova).
Para pontos (x,y) próximos de (0,1) tem-se y^{2} próximo de 1, então o numerador é da ordem de grandeza de x^{2} e x (mais precisamente, x^{2}+3xy^{2} é pequeno porque contém fatores x e x^{2}), enquanto o denominador fica perto de 1. Assim a fração tende a 0.
Em termos de desigualdade: para (x,y) próximos, existe constante C tal que