Calcular os limites seguintes:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{x^{2}+3 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 1}} \frac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • A função envolvida é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto onde o par (x,y) se aproxima é (0,1).

Passo 2

Verificar se há algum problema óbvio no ponto (por exemplo, denominador zero).
  • Calcular o denominador em (0,1):
0^{2}+1^{2}=1\neq 0.
  • Como o denominador não se anula no ponto de interesse, a expressão é bem definida em (0,1) e não há singularidade aí. Isso é informação importante: não precisamos nos preocupar com divisão por zero ao avaliar o limite.

Passo 3

Lembrar e usar propriedades básicas de limites em várias variáveis (aulas rápidas e intuitivas).
  • Regra prática: se \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} h(x,y)=M com M\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{g(x,y)}{h(x,y)} = \frac{L}{M}.
  • Outra propriedade útil: somas, produtos e potências preservam limites quando os limites das partes existem. Por exemplo, \lim (u+v)=\lim u+\lim v, \lim (u\cdot v)=(\lim u)(\lim v), e \lim(u^2)=(\lim u)^2, desde que os limites existam.
Essas regras são consequência da continuidade das funções polinomiais (e das operações aritméticas) em pontos onde tudo está bem definido.

Passo 4

Calcular separadamente o limite do numerador e do denominador.
  • Numerador: x^{2}+3xy^{2}.
    • \lim_{(x,y)\to(0,1)} x^{2} = (\lim_{(x,y)\to(0,1)} x)^{2} = 0^{2}=0.
    • \lim_{(x,y)\to(0,1)} y^{2} = (\lim_{(x,y)\to(0,1)} y)^{2} = 1^{2}=1.
    • Pela propriedade do produto,
    \lim_{(x,y)\to(0,1)} 3xy^{2} = 3\cdot\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)} x\bigr)\cdot\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)} y^{2}\bigr) = 3\cdot 0\cdot 1 = 0.
    • Somando as duas partes,
    \lim_{(x,y)\to(0,1)} \bigl(x^{2}+3xy^{2}\bigr)=0+0=0.
  • Denominador: x^{2}+y^{2}.
    • Pelo mesmo raciocínio,
    \lim_{(x,y)\to(0,1)} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = 0 + 1 = 1.

Passo 5

Aplicar a regra da razão e concluir o limite.
  • Como o limite do numerador é 0 e o limite do denominador é 1\neq 0, pela propriedade da razão de funções,
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 1}} \frac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{0}{1}=0.

Passo 6

Intuição adicional e controle (opcional, para ficar mais seguro na prova).
  • Para pontos (x,y) próximos de (0,1) tem-se y^{2} próximo de 1, então o numerador é da ordem de grandeza de x^{2} e x (mais precisamente, x^{2}+3xy^{2} é pequeno porque contém fatores x e x^{2}), enquanto o denominador fica perto de 1. Assim a fração tende a 0.
  • Em termos de desigualdade: para (x,y) próximos, existe constante C tal que
\left|\frac{x^{2}+3xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le C\bigl(|x|+x^{2}\bigr)\to 0,
quando x\to 0. Isso confirma de maneira quantitativa que o limite é 0.

Resposta

0

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