Calcular os limites seguintes:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função de duas variáveis
e . - O ponto de interesse é
. - O numerador é
. - O denominador é
.
A pergunta é: qual é o valor do limite quandotende a ?
Passo 2
Observação útil: no numerador há termos que têm fator comum em
e termos idênticos multiplicados por
. Agrupando, fatoramos o numerador por
:
Explicação didática: aqui percebe-se que tanto os termos com coeficiente
quanto os com coeficiente
contêm o mesmo polinômio em
, então esse polinômio pode ser fatorado em evidência multiplicando
.
Passo 3
Agora fatoramos o polinômio em
:
Usamos fatoração por agrupamento:
Em seguida fatoramos
como diferença de quadrados:
Assim
Passo 4
Substituindo essa fatoração no numerador obtemos:
Logo a fração original fica
Podemos cancelar os fatores iguais
e
, lembrando que o cancelamento é uma identidade algébrica válida para todos os pontos onde esses fatores são não nulos. Para o cálculo do limite, consideramos pontos arbitrariamente próximos de
mas distintos de
; em tais pontos
está próximo de
(não nulo) e, salvo quando
exatamente,
também é não nulo. Portanto, para todos os pontos da vizinhança apropriada (onde a função está definida) a expressão simplifica para
Comentário didático: no problema do limite não é necessário que a função esteja definida exatamente no ponto
; basta que nas proximidades a expressão se comporte como uma função que tende a um valor. A simplificação mostra que, em qualquer sequência
com
onde a expressão está definida, o valor da expressão é
, que tende para
.
Passo 5
Calculamos o limite da função simplificada, que é contínua:
Explicação: como a expressão equivalente é simplesmente
(independente de
), seu limite quando
é direto por avaliação (função contínua).