Calcular os limites seguintes:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 2}} \frac{y x^{3}-y x^{2}-y x+y+2 x^{3}-2 x^{2}-2 x+2}{(x-1)^{2}(y+2)}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{\substack{x\to 1\\\ y\to 2}} \frac{y x^{3}-y x^{2}-y x+y+2 x^{3}-2 x^{2}-2 x+2}{(x-1)^{2}(y+2)}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função de duas variáveis x e y.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(1,2).
  • O numerador é y x^{3}-y x^{2}-y x+y+2 x^{3}-2 x^{2}-2 x+2.
  • O denominador é (x-1)^{2}(y+2).
    A pergunta é: qual é o valor do limite quando (x,y) tende a (1,2)?

Passo 2

Observação útil: no numerador há termos que têm fator comum em y e termos idênticos multiplicados por 2. Agrupando, fatoramos o numerador por x:
\begin{aligned} y x^{3}-y x^{2}-y x+y+2 x^{3}-2 x^{2}-2 x+2 &=y(x^{3}-x^{2}-x+1)+2(x^{3}-x^{2}-x+1)\\\ &=(y+2)\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr). \end{aligned}
Explicação didática: aqui percebe-se que tanto os termos com coeficiente y quanto os com coeficiente 2 contêm o mesmo polinômio em x, então esse polinômio pode ser fatorado em evidência multiplicando y+2.

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio em x:
x^{3}-x^{2}-x+1.
Usamos fatoração por agrupamento:
x^{3}-x^{2}-x+1 = x^{2}(x-1)-1(x-1)=(x-1)(x^{2}-1).
Em seguida fatoramos x^{2}-1 como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Assim
x^{3}-x^{2}-x+1=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^{2}(x+1).

Passo 4

Substituindo essa fatoração no numerador obtemos:
\text{numerador}=(y+2)(x-1)^{2}(x+1).
Logo a fração original fica
\frac{(y+2)(x-1)^{2}(x+1)}{(x-1)^{2}(y+2)}.
Podemos cancelar os fatores iguais (x-1)^{2} e (y+2), lembrando que o cancelamento é uma identidade algébrica válida para todos os pontos onde esses fatores são não nulos. Para o cálculo do limite, consideramos pontos arbitrariamente próximos de (1,2) mas distintos de (1,2); em tais pontos y+2 está próximo de 4 (não nulo) e, salvo quando x=1 exatamente, (x-1)^{2} também é não nulo. Portanto, para todos os pontos da vizinhança apropriada (onde a função está definida) a expressão simplifica para
x+1.
Comentário didático: no problema do limite não é necessário que a função esteja definida exatamente no ponto (1,2); basta que nas proximidades a expressão se comporte como uma função que tende a um valor. A simplificação mostra que, em qualquer sequência (x_n,y_n)\to(1,2) com (x_n,y_n) onde a expressão está definida, o valor da expressão é x_n+1, que tende para 2.

Passo 5

Calculamos o limite da função simplificada, que é contínua:
\lim_{\substack{x\to 1\\\ y\to 2}} (x+1)=1+1=2.
Explicação: como a expressão equivalente é simplesmente x+1 (independente de y), seu limite quando x\to1 é direto por avaliação (função contínua).

Resposta

2

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