1 - Calcular os limites usando as regras de L’Hospital
a) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}-4 x-6}{x+1}
b) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-5 x^{2}+3 x+9}{x^{3}-10 x^{2}+33 x-36}
c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{121+7 x}-11}{x}
d) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}
e) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{7}-6 x-5}{x^{2}+3}
f) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{x}+5 x-17}{x^{4}}
g) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+5}}{x+9}
h) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}
i) \lim _{x \rightarrow-3}\left(\frac{1}{2 x+6}-\frac{1}{3+x}\right)
j) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot \ln (x)
k) \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[3]{\frac{\operatorname{tg}(17 x)}{x}}
  1. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x}{5+x}\right)^{x}
    m) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{3^{8 x}-1}{x}\right)
    n) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{2^{x}-8}{\operatorname{sen}\left(x^{2}-9\right)}
2 - Calcular a diferencial das seguintes funções.
a) f(x)=5 \operatorname{sen}(x)
b) g(x)=\frac{\operatorname{tg}(x)}{\ln (x)}
c) h(x)=4^{x} \cdot \sqrt[4]{x}
d) w(x)=x \cdot e^{x}
e) j(x)=\ln (\operatorname{tg}(x))
f) m(x)=\log _{5}\left(\sqrt[3]{\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)}\right)
3 - Calcular um valor aproximado usando diferencial.
a) \sqrt{48}
b) \sqrt[4]{81,5}
c) \operatorname{sen}\left(\frac{8 \pi}{45}\right)
d) \cos \left(44^{\circ}\right)
e) \log _{2}(8,5)
4 - Achar a razão da variação da diagonal de um cubo em relação ao seu volume. Se o volume está contraindo a uma taxa de 1 / 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, qual a razão da variação da diagonal quando o volume mede 9 \mathrm{~m}^{3} ?
5 - Um corpo de prova foi retirado de um lingote de fundição de ferro fundido e será depositado num recipiente com nitrogênio líquido no instante t=0, para a realização de um ensaio mecânico de impacto. Após t minutos, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:
T(t)=5(t+6)^{3} e^{\frac{-t-6}{2}}-30, \quad(0 \leq t \leq 10)
Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 minutos?
6 - Estudar os “exercícios resolvidos 1, 2 e 3”, que constam nas páginas 115 a 118, da bibliografia abaixo.
ALVES, Francisco Régis Vieira. Cálculo I. Fortaleza, UAB/IFCE, 2011. 225 p. Creative Commons Atribuição (BY) - Uso Não-Comercial (NC) - Compartilhamento pela mesma Licença (SA) 4.0 ISBN: 978-85-63953-28-5. E-book. Disponível em:
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/429729/2/CalculoI.pdf
Acesso em: 17 ago. 2020.
7 - Estudar os “exemplos 4.8, 4.9, 4.10, 4.11 e 4.12”, que constam nas páginas 96 e 97, da bibliografia abaixo.
CABRAL, Marco Aurélio Palumbo. Curso de Cálculo de Uma Variável. 3{ }^{\text {a }} ed. Rio de Janeiro:
Departamento de Matemática Aplicada, Instituto de Matemática, UFRJ, 2013. 250 p. Creative
Commons Atribuição (BY) - Uso Não-Comercial (NC) - Compartilhamento pela mesma Licença
(SA) 3.0. E-book. Disponível em:
https://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/livro-calculo/cursoCalculoI-livro.pdf
Acesso em: 17 ago. 2020.
8 - Determinar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como, os máximos e mínimos das seguintes funções.

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites usando a regra de L’Hospital sempre que apareça forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}. A regra diz que, se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\quad \lim_{x\to a} g(x)=0 \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty,\quad \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty,
então, se as derivadas existem e g'(x)\neq0 perto de a,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse novo limite exista ou seja \pm\infty.

Passo 2

a) \displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{2x^2-4x-6}{x+1}.
Em x=-1 0/0, aplicamos L’Hospital:
f'(x)=4x-4,\quad g'(x)=1,
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\lim_{x\to-1}\frac{2x^2-4x-6}{x+1} =\lim_{x\to-1}(4x-4) =4(-1)-4=-8.

Passo 3

b) \displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-10x^2+33x-36}.
Em x=3 0/0. Duas aplicações de L’Hospital:
1ª vez:
f'(x)=3x^2-10x+3,\quad g'(x)=3x^2-20x+33,
em x=3 ainda 0/0. 2ª vez:
f''(x)=6x-10,\quad g''(x)=6x-20,
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\lim_{x\to3}=\frac{6\cdot3-10}{6\cdot3-20} =\frac{8}{-2}=-4.

Passo 4

c) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{121+7x}-11}{x}.
Forma 0/0. L’Hospital:
f'(x)=\frac{7}{2\sqrt{121+7x}},\quad g'(x)=1,
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\lim_{x\to0}=\frac{7}{2\cdot11}=\frac{7}{22}.

Passo 5

d) \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}.
Observe que
\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1 =(x^{1/3}-1)^2
e (x-1)=(x^{1/3}-1)(x^{2/3}+x^{1/3}+1). Portanto
\frac{(x-1)^2}{(x^{1/3}-1)^2} =(x^{2/3}+x^{1/3}+1)^2
e em x=1 vale (1+1+1)^2=9.

Passo 6

e) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^7-6x-5}{x^2+3}.
Governa o termo de maior grau: \sim x^7/x^2=x^5. Para x\to-\infty, x^5\to-\infty. Logo o limite é -\infty.

Passo 7

f) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt{x}+5x-17}{x^4}.
Dividindo tudo por x^4:
\frac{x^{3/2}}{x^4}+\frac{5x}{x^4}-\frac{17}{x^4} =x^{-5/2}+5x^{-3}-17x^{-4}\to0.

Passo 8

g) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+5}}{x+9}.
Para x\to-\infty, \sqrt{x^2+5}\sim|x|=-x. Então
\frac{-\,x}{x(1+9/x)}\to\frac{-1}{1+0}=-1.

Passo 9

h) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 (limite trigonométrico clássico).

Passo 10

i) \displaystyle\lim_{x\to-3}\Bigl(\frac{1}{2x+6}-\frac{1}{x+3}\Bigr).
Reescrevendo 2x+6=2(x+3):
\frac{1}{2(x+3)}-\frac{1}{(x+3)} =\frac{1-2}{2(x+3)} =-\frac{1}{2(x+3)},
que diverge quando x\to-3. Portanto não existe limite finito (é \pm\infty lateralmente).

Passo 11

j) \displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln(x).
Forma 0\cdot(-\infty). Escreva \ln(x)/(1/x), aplica L’Hospital:
\frac{(1/x)}{-1/x^2}=-x\to0.

Passo 12

k) \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt[3]{\frac{\operatorname{tg}(17x)}{x}}.
Para x\to0, \operatorname{tg}(17x)\sim17x, dentro da raiz dá 17. Logo \sqrt[3]{17}.

Passo 13

l) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\Bigl(\frac{x}{5+x}\Bigr)^{x}.
Reescreva
\Bigl(\frac{1}{1+5/x}\Bigr)^x =\Bigl(1+5/x\Bigr)^{-x}.
Com t=-x\to+\infty, fica (1-5/t)^t\to e^{-5}.

Passo 14

m) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3^{8x}-1}{x}.
Derivando pelo expoente (ou L’Hospital):
d(3^{8x})/dx=3^{8x}\cdot8\ln3,
em x=0 8\ln3.

Passo 15

n) \displaystyle\lim_{x\to3}\frac{2^x-8}{\operatorname{sen}(x^2-9)}.
Forma 0/0. L’Hospital:
\frac{d(2^x)}{dx}=\;2^x\ln2, \quad \frac{d\bigl[\operatorname{sen}(x^2-9)\bigr]}{dx} =\cos(x^2-9)\cdot2x.
Em x=3 resulta \tfrac{2^3\ln2}{\cos0\cdot6}=\tfrac{8\ln2}{6}=\tfrac{4\ln2}{3}.

Resposta

a) -8
b) -4
c) \tfrac{7}{22}
d) 9
e) -\infty
f) 0
g) -1
h) 1
i) não existe (diverge)
j) 0
k) \sqrt[3]{17}
l) e^{-5}
m) 8\ln3
n) \tfrac{4\ln2}{3}

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