Calcular:
O livre percurso médio dos átomos de césio, sabendo que a 500^{\circ} \mathrm{C} a pressão de vapor é 80 mmHg e que \pi \mathrm{d}^{2}=9,2 \times 10^{-19} \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular o livre percurso médio dos átomos de césio (comprimento médio entre colisões), denotado por \lambda.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: 500^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão de vapor: 80\\ \mathrm{mmHg}.
    • Seção eficaz de colisão: \pi d^{2}=9{,}2\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^{2}.
Observação: vou usar todas essas informações sem pedir nada a mais. A resolução detalhará cada passo e as conversões necessárias.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Intuição física: o livre percurso médio \lambda é a distância média que uma partícula (aqui um átomo de césio) percorre entre colisões. Em teoria cinética, para um gás ideal de partículas idênticas com densidade número n e seção eficaz de colisão \sigma, vale a relação
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
  • Explicação do fator \sqrt{2}: aparece porque estamos contando colisões entre pares de partículas em movimento relativo; ele corrige a frequência efetiva de encontros entre partículas.
  • Aqui \sigma é a seção eficaz de colisão (área) em \mathrm{m}^{2}.
  • Relação com pressão e temperatura: para um gás ideal a densidade numérica n está relacionada à pressão p e à temperatura T por
p=n\,k_B\,T,
onde k_B é a constante de Boltzmann. Isolando n e substituindo em \lambda, obtemos a fórmula prática
\lambda=\frac{k_B\,T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • k_B: constante de Boltzmann, k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
    • T: temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    • p: pressão absoluta em pascal ( \mathrm{Pa}).
    • \sigma: seção eficaz de colisão em \mathrm{m}^{2} (aqui \sigma=\pi d^{2}).

Passo 3

Converter unidades e calcular T, p e \sigma.
  • Converter temperatura para kelvin:
T = 500^\circ\mathrm{C} = 500 + 273{,}15 = 773{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressão de \mathrm{mmHg} para pascal. Usando 1\\ \mathrm{mmHg}\approx133{,}322\\ \mathrm{Pa}:
p = 80\\ \mathrm{mmHg} = 80\times133{,}322\\ \mathrm{Pa} = 10\,665{,}76\\ \mathrm{Pa}.
  • Seção eficaz (já dada):
\sigma=\pi d^{2}=9{,}2\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular o numerador k_B\,T.
  • Usando k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T=773{,}15\\ \mathrm{K}:
k_B\,T = \left(1{,}380649\times10^{-23}\right)\times773{,}15 \approx 1{,}06745\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: k_B T tem unidades de energia por partícula; na fórmula ele aparece no numerador da \lambda.

Passo 5

Calcular o denominador \sqrt{2}\,p\,\sigma.
  • Primeiro calcular p\,\sigma:
p\,\sigma = \left(10\,665{,}76\right)\times\left(9{,}2\times10^{-19}\right) \approx 9{,}8124992\times10^{-15}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{2}}.
  • Agora multiplicar por \sqrt{2} (onde \sqrt{2}\approx1{,}41421356):
\sqrt{2}\,p\,\sigma \approx 1{,}41421356\times9{,}8124992\times10^{-15} \approx 1{,}3883858\times10^{-14}.

Passo 6

Calcular \lambda substituindo numerador e denominador.
  • Usando a fórmula \displaystyle \lambda=\frac{k_B\,T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}:
\lambda \approx \frac{1{,}06745\times10^{-20}}{1{,}3883858\times10^{-14}} \approx 7{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para unidades mais familiares:
7{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=0{,}769\\ \mu\mathrm{m}\approx770\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para a prova.
  • Resultado prático: o livre percurso médio é da ordem de um micrômetro fracionado ( \sim0{,}8\\ \mu\mathrm{m}), isto é, uma distância muito pequena — átomos de césio colidem com bastante frequência a essa pressão.
  • Dica: na prova memorize a fórmula \lambda=\dfrac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma} e sempre verifique unidades (kelvin e pascal). Se der pressão em outras unidades, converta primeiro para pascal. Mantendo tudo em SI, a conta cai direto.

Resposta

\lambda = 7{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{m}

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