Calcular a pressão para a qual o livre percurso médio do argônio, a
é comparável ao diâmetro de um recipiente esférico com volume de 1 litro. Considerar
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede a pressão para a qual o livre percurso médio do argônio, à
, é comparável ao diâmetro de um recipiente esférico de volume litro. - Dados fornecidos:
- Temperatura:
(ou seja, ). - Volume do recipiente:
. - Seção de choque (área efetiva de colisão) do argônio:
.
- Temperatura:
- Objetivo prático: encontrar a pressão
tal que o livre percurso médio seja aproximadamente igual ao diâmetro da esfera .
Passo 2
Calcular o diâmetro
da esfera a partir do volume
.
- Fórmula do volume de uma esfera em função do diâmetro
:
- Isolando
:
- Substituir
:
- Agora calcular numericamente passo a passo:
- Primeiro calcule
. Usando ,
- Em seguida a raiz cúbica:
- Primeiro calcule
- Conclusão: o diâmetro da esfera é aproximadamente
(ou ).
Passo 3
Apresentar a fórmula do livre percurso médio e relacioná-la à pressão.
- Para um gás de esferas duras a fórmula aproximada do livre percurso médio é
onde:
-
é o livre percurso médio (m), -
é a densidade numérica do gás (número de moléculas por metro cúbico), -
é a seção de choque (m ), - o fator
aparece porque estamos contando colisões entre quaisquer pares de moléculas com distribuição isotrópica de velocidades. - A densidade numérica
para um gás ideal relaciona-se com a pressão e a temperatura via a constante de Boltzmann :
onde
.
- Substituindo
na expressão de :
Passo 4
Isolar a pressão
exigida para que
.
- Queremos
. Assim, da expressão anterior:
- Isolando
:
- Essa é a fórmula que usaremos para calcular numericamente a pressão desejada. Aqui:
-
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta, -
deve estar em , -
em metros, -
ficará em pascal (Pa).
-
Passo 5
Converter
para unidades SI e calcular numericamente
.
- Converter
para : -
. - Logo
.
-
- Calcular
para :
- Calcular o denominador
: -
, -
, -
.
-
- Finalmente:
- Aproximação prática:
.
Passo 6
Converter para unidades mais usuais e interpretar o resultado (com incentivo).
- Conversões rápidas:
- Para milibar:
, logo
- Para milibar:
- Para Torr (mmHg):
, logo
- Interpretação rápida e encorajamento: esse valor é um vácuo razoavelmente alto (pressão bem baixa) — para que a distância média entre colisões seja tão grande quanto o diâmetro de uma esfera de 1 L, é preciso reduzir a pressão para algumas centésimas de pascal. Bom trabalho chegando até aqui — a física do transporte molecular às vezes assusta, mas a conta é só aplicar as fórmulas com cuidado!