Calcular a pressão para a qual o livre percurso médio do argônio, a 25^{\circ} \mathrm{C} é comparável ao diâmetro de um recipiente esférico com volume de 1 litro. Considerar \sigma=0,36 \mathrm{~nm}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede a pressão para a qual o livre percurso médio do argônio, à 25^\circ\mathrm{C}, é comparável ao diâmetro de um recipiente esférico de volume 1 litro.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (ou seja, T=298{,}15\\ \mathrm{K}).
    • Volume do recipiente: V=1\\ \mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    • Seção de choque (área efetiva de colisão) do argônio: \sigma=0{,}36\\ \mathrm{nm}^2.
  • Objetivo prático: encontrar a pressão p tal que o livre percurso médio \lambda seja aproximadamente igual ao diâmetro da esfera D.

Passo 2

Calcular o diâmetro D da esfera a partir do volume V.
  • Fórmula do volume de uma esfera em função do diâmetro D:
V=\frac{\pi}{6}D^3.
  • Isolando D:
D=\left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Substituir V=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3:
D=\left(\frac{6\times10^{-3}}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Agora calcular numericamente passo a passo:
    • Primeiro calcule \dfrac{6\times10^{-3}}{\pi}. Usando \pi\approx3{,}14159265,
    \frac{6\times10^{-3}}{\pi}\approx0{,}006/3{,}14159265\approx0{,}00190986.
    • Em seguida a raiz cúbica:
    D\approx(0{,}00190986)^{1/3}\approx0{,}1243\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: o diâmetro da esfera é aproximadamente D\approx0{,}124\\ \mathrm{m} (ou 12{,}4\\ \mathrm{cm}).

Passo 3

Apresentar a fórmula do livre percurso médio e relacioná-la à pressão.
  • Para um gás de esferas duras a fórmula aproximada do livre percurso médio é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde:
  • \lambda é o livre percurso médio (m),
  • n é a densidade numérica do gás (número de moléculas por metro cúbico),
  • \sigma é a seção de choque (m ^2),
  • o fator \sqrt{2} aparece porque estamos contando colisões entre quaisquer pares de moléculas com distribuição isotrópica de velocidades.
  • A densidade numérica n para um gás ideal relaciona-se com a pressão p e a temperatura T via a constante de Boltzmann k_B:
n=\frac{p}{k_B T},
onde k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Substituindo n na expressão de \lambda:
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sigma}\cdot\frac{k_B T}{p}.

Passo 4

Isolar a pressão p exigida para que \lambda=D.
  • Queremos \lambda=D. Assim, da expressão anterior:
D=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sigma}\cdot\frac{k_B T}{p}.
  • Isolando p:
p=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\sigma\,D}.
  • Essa é a fórmula que usaremos para calcular numericamente a pressão desejada. Aqui:
    • k_B é a constante de Boltzmann,
    • T é a temperatura absoluta,
    • \sigma deve estar em \mathrm{m}^2,
    • D em metros,
    • p ficará em pascal (Pa).

Passo 5

Converter \sigma para unidades SI e calcular numericamente p.
  • Converter \sigma=0{,}36\\ \mathrm{nm}^2 para \mathrm{m}^2:
    • 1\\ \mathrm{nm}^2=(10^{-9}\\ \mathrm{m})^2=10^{-18}\\ \mathrm{m}^2.
    • Logo \sigma=0{,}36\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^2=3{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^2.
  • Calcular k_B T para T=298{,}15\\ \mathrm{K}:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\times298{,}15 \approx 4{,}1164\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Calcular o denominador \sqrt{2}\,\sigma\,D:
    • \sqrt{2}\approx1{,}41421356,
    • \sigma=3{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^2,
    • D\approx0{,}1243\\ \mathrm{m}.
\sqrt{2}\,\sigma\,D \approx 1{,}41421356\times3{,}6\times10^{-19}\times0{,}1243 \approx6{,}3267\times10^{-20}\\ \mathrm{m}^2.
  • Finalmente:
p=\frac{4{,}1164\times10^{-21}}{6{,}3267\times10^{-20}}\\ \mathrm{Pa}\approx6{,}505\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}.
  • Aproximação prática: p\approx0{,}065\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Converter para unidades mais usuais e interpretar o resultado (com incentivo).
  • Conversões rápidas:
    • Para milibar: 1\\ \mathrm{Pa}=0{,}01\\ \mathrm{mbar}, logo
p\approx0{,}065\\ \mathrm{Pa}\approx6{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mbar}.
  • Para Torr (mmHg): 1\\ \mathrm{Torr}\approx133{,}322\\ \mathrm{Pa}, logo
p\approx\frac{0{,}065}{133{,}322}\\ \mathrm{Torr}\approx4{,}9\times10^{-4}\\ \mathrm{Torr}.
  • Interpretação rápida e encorajamento: esse valor é um vácuo razoavelmente alto (pressão bem baixa) — para que a distância média entre colisões seja tão grande quanto o diâmetro de uma esfera de 1 L, é preciso reduzir a pressão para algumas centésimas de pascal. Bom trabalho chegando até aqui — a física do transporte molecular às vezes assusta, mas a conta é só aplicar as fórmulas com cuidado!

Resposta

p\approx0{,}065\\ \mathrm{Pa}
p\approx6{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mbar}
p\approx4{,}9\times10^{-4}\\ \mathrm{Torr}

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