Calcular:
O número de colisões por segundo entre todos os átomos de césio dentro de um forno de volume V= 50 \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o número de colisões por segundo entre todos os átomos de césio dentro de um forno de volume \,V=50\\ \mathrm{cm^{3}}\,.
Informações fornecidas:
  • Volume do forno: \,V=50\\ \mathrm{cm^{3}}=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}\,.
O que está faltando para obter um valor numérico:
  • A densidade númerica do vapor de césio \,n (ou a pressão parcial \,p e a temperatura \,T, porque \,n=p/(kT) para gás ideal).
  • O diâmetro efetivo dos átomos (ou seção de choque) \,d (ou \,\sigma=\pi d^{2}).
  • A temperatura \,T (para calcular a velocidade média dos átomos).
Não foi fornecido nenhum desses dados extras no enunciado, portanto a resposta numérica exata não pode ser obtida sem assumir valores. A seguir eu mostro a dedução geral (fórmula prática) e, em seguida, um exemplo numérico ilustrativo usando hipóteses explícitas (que serão indicadas).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (kinetic theory, explicadinho):
  • Em um gás de partículas idênticas, a taxa de colisões que um átomo sofre por segundo (frequência de colisões por partícula) é dada pela densidade de alvos multiplicada pela seção de choque e pela velocidade relativa média entre pares. Em palavras: quanto mais partículas houver por volume, maior a chance de uma partícula colidir; quanto maior a área “visível” (seção de choque), maior a chance; quanto mais velozes, maior a taxa.
Definições e fórmulas úteis (cada símbolo explicado):
  • \,n: densidade numérica (número de átomos por volume), unidades \mathrm{m^{-3}}.
  • \,N: número total de átomos no forno, \,N = nV.
  • \,\sigma: seção de choque efetiva para colisão entre dois átomos (para esferas duras \,\sigma=\pi d^{2}, onde \,d é o diâmetro efetivo).
  • \,\bar v: velocidade média de Maxwell para uma partícula de massa m à temperatura T,
\bar v = \sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}},
onde \,k é a constante de Boltzmann.
  • Para partículas idênticas a velocidade relativa média entre pares é
\bar v_{\text{rel}} = \sqrt{2}\,\bar v = \sqrt{\frac{16 k T}{\pi m}}.
  • Frequência de colisões por partícula:
z = n\,\sigma\,\bar v_{\text{rel}}.
Interpretação: cada partícula vê n alvos por volume, cada alvo “apresenta” seção \sigma, e as aproximações ocorrem na velocidade média relativa \bar v_{\text{rel}}.

Passo 3

Passo para passar da frequência por partícula à taxa total de colisões no forno:
  • Cada colisão envolve duas partículas, então se somássemos as colisões que cada partícula sofre teríamos o dobro do número real de colisões. Portanto a taxa total de colisões (contadas uma única vez cada colisão) é
R = \frac{1}{2}\,N\,z.
Substituindo N=nV e z=n\sigma\bar v_{\text{rel}}, obtemos
R=\frac{1}{2}\,nV\,(n\sigma\bar v_{\text{rel}})=\frac{1}{2}\,n^{2}V\sigma\bar v_{\text{rel}}.
Substituindo \bar v_{\text{rel}}=\sqrt{\dfrac{16kT}{\pi m}} temos
R=\frac{1}{2}\,n^{2}V\sigma\sqrt{\frac{16kT}{\pi m}}.
Simplificando o fator numérico:
\sqrt{\frac{16kT}{\pi m}}=4\sqrt{\frac{kT}{\pi m}},
portanto
R = 2\,n^{2}V\sigma\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}.
Essa é a expressão final prática: para obter R numericamente precisa-se de n (ou p e T), de \sigma, de m e de T.

Passo 4

Como obter n e \sigma na prática:
  • Se o vapor pode ser tratado como gás ideal, então
n=\frac{p}{kT},
onde \,p é a pressão parcial do vapor e \,T a temperatura absoluta.
  • Para a seção de choque, um modelo simples de “esferas duras” dá
\sigma=\pi d^{2},
onde \,d é o diâmetro efetivo do átomo (valor experimental/estimado).
Valor da massa do átomo de césio (necessário para velocidade):
  • Massa atômica aproximada do césio: 133\\ \mathrm{u}. Com 1\\ \mathrm{u}=1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
m = 133\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\approx 2{,}2085\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
Observação didática importante: sem saber a pressão ou a densidade real do vapor de césio no forno, não existe um único número realista — césio condensa facilmente e, sob pressão ambiente, não fica em fase gasosa. Por isso a resposta numérica depende fortemente das hipóteses.

Passo 5

Cálculo-exemplo ilustrativo (assumindo hipóteses explícitas para mostrar como usar a fórmula):
Assumptions (essas são apenas para exemplificar o cálculo; são hipóteses que podem não representar a situação física do forno):
  • Pressão hipotética: \,p=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (1 atm) — isto é só para ilustração.
  • Temperatura: \,T=300\\ \mathrm{K}.
  • Diâmetro atômico efetivo estimado: \,d=5{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (valor aproximado de ordem de grandeza para átomos grandes).
    Cálculos passo a passo:
  1. Volume em SI:
V = 50\\ \mathrm{cm^{3}} = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Seção de choque:
\sigma=\pi d^{2}=\pi (5{,}2\times10^{-10})^{2}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 8{,}50\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Densidade numérica (gás ideal):
n=\frac{p}{kT}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{(1{,}380649\times10^{-23})\times300}\\ \mathrm{m^{-3}}\approx 2{,}45\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  1. Número total de átomos no volume:
N=nV\approx (2{,}45\times10^{25})\times(5{,}0\times10^{-5})\approx 1{,}22\times10^{21}.
  1. Termo de velocidade:
\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}\approx \sqrt{\frac{1{,}380649\times10^{-23}\times300}{\pi\times2{,}2085\times10^{-25}}}\approx 7{,}728\times10^{1}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  1. Aplicando a fórmula final:
R = 2\,n^{2}V\sigma\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}.
Substituindo números:
R \approx 2\times(2{,}45\times10^{25})^{2}\times(5{,}0\times10^{-5})\times(8{,}50\times10^{-19})\times(7{,}728\times10^{1})
\Rightarrow R \approx 3{,}9\times10^{30}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  1. Frequência de colisões por partícula (checação):
z = n\sigma\bar v_{\text{rel}},\qquad \bar v_{\text{rel}}=\sqrt{2}\bar v\approx 3{,}09\times10^{2}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}},
z\approx (2{,}45\times10^{25})\times(8{,}50\times10^{-19})\times(3{,}09\times10^{2})\approx 6{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}},
e então R=(1/2)Nz\approx 0{,}5\times1{,}22\times10^{21}\times6{,}4\times10^{9}\approx3{,}9\times10^{30}\\ \mathrm{s^{-1}}, coerente com o resultado anterior.
Comentário sobre o exemplo: o valor numérico obtido é enorme porque foi usado \,p=1\\ \mathrm{atm}; na prática o césio não se encontra como gás nessa pressão à temperatura ambiente (condensaria). Este cálculo exemplifica o método e mostra como o resultado depende criticamente de p, T e \sigma.

Passo 6

Resumo prático e o que você precisa passar (se quiser um número realista para o forno do seu experimento):
  • Para um valor numérico real para o forno de césio, informe pelo menos:
    • a temperatura \,T do forno (ou a pressão parcial do vapor de césio \,p);
    • se possível, a densidade \,n do vapor (ou a pressão); caso contrário a temperatura sozinha não basta porque a pressão de vapor de césio depende da temperatura de forma particular (tabela/curva de vapor).
  • Com esses dados plugue na fórmula
\boxed{R = 2\,n^{2}V\sigma\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}}
ou, usando n=p/(kT),
\boxed{R = 2\,V\sigma\frac{p^{2}}{k^{3/2}T^{3/2}\sqrt{\pi m}}.}

Resposta

\displaystyle R = 2\,n^{2}V\sigma\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}
(Exemplo ilustrativo com \,p=1\\ \mathrm{atm},\\ T=300\\ \mathrm{K},\\ d=5{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{m})
\displaystyle R \approx 3{,}9\times10^{30}\\ \mathrm{s^{-1}}

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