Calcular:
O número de colisões por segundo entre todos os átomos de césio dentro de um forno de volume
O número de colisões por segundo entre todos os átomos de césio dentro de um forno de volume
Passo 1
O enunciado pede: calcular o número de colisões por segundo entre todos os átomos de césio dentro de um forno de volume
.
Informações fornecidas:
- Volume do forno:
.
O que está faltando para obter um valor numérico:
- A densidade númerica do vapor de césio
(ou a pressão parcial e a temperatura , porque para gás ideal). - O diâmetro efetivo dos átomos (ou seção de choque)
(ou ). - A temperatura
(para calcular a velocidade média dos átomos).
Não foi fornecido nenhum desses dados extras no enunciado, portanto a resposta numérica exata não pode ser obtida sem assumir valores. A seguir eu mostro a dedução geral (fórmula prática) e, em seguida, um exemplo numérico ilustrativo usando hipóteses explícitas (que serão indicadas).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (kinetic theory, explicadinho):
- Em um gás de partículas idênticas, a taxa de colisões que um átomo sofre por segundo (frequência de colisões por partícula) é dada pela densidade de alvos multiplicada pela seção de choque e pela velocidade relativa média entre pares. Em palavras: quanto mais partículas houver por volume, maior a chance de uma partícula colidir; quanto maior a área “visível” (seção de choque), maior a chance; quanto mais velozes, maior a taxa.
Definições e fórmulas úteis (cada símbolo explicado):
-
: densidade numérica (número de átomos por volume), unidades . -
: número total de átomos no forno, . -
: seção de choque efetiva para colisão entre dois átomos (para esferas duras , onde é o diâmetro efetivo). -
: velocidade média de Maxwell para uma partícula de massa à temperatura ,
onde
é a constante de Boltzmann.
- Para partículas idênticas a velocidade relativa média entre pares é
- Frequência de colisões por partícula:
Interpretação: cada partícula vê
alvos por volume, cada alvo “apresenta” seção
, e as aproximações ocorrem na velocidade média relativa
.
Passo 3
Passo para passar da frequência por partícula à taxa total de colisões no forno:
- Cada colisão envolve duas partículas, então se somássemos as colisões que cada partícula sofre teríamos o dobro do número real de colisões. Portanto a taxa total de colisões (contadas uma única vez cada colisão) é
Substituindo
e
, obtemos
Substituindo
temos
Simplificando o fator numérico:
portanto
Essa é a expressão final prática: para obter
numericamente precisa-se de
(ou
e
), de
, de
e de
.
Passo 4
Como obter
e
na prática:
- Se o vapor pode ser tratado como gás ideal, então
onde
é a pressão parcial do vapor e
a temperatura absoluta.
- Para a seção de choque, um modelo simples de “esferas duras” dá
onde
é o diâmetro efetivo do átomo (valor experimental/estimado).
Valor da massa do átomo de césio (necessário para velocidade):
- Massa atômica aproximada do césio:
. Com ,
Observação didática importante: sem saber a pressão ou a densidade real do vapor de césio no forno, não existe um único número realista — césio condensa facilmente e, sob pressão ambiente, não fica em fase gasosa. Por isso a resposta numérica depende fortemente das hipóteses.
Passo 5
Cálculo-exemplo ilustrativo (assumindo hipóteses explícitas para mostrar como usar a fórmula):
Assumptions (essas são apenas para exemplificar o cálculo; são hipóteses que podem não representar a situação física do forno):
Assumptions (essas são apenas para exemplificar o cálculo; são hipóteses que podem não representar a situação física do forno):
- Pressão hipotética:
(1 atm) — isto é só para ilustração. - Temperatura:
. - Diâmetro atômico efetivo estimado:
(valor aproximado de ordem de grandeza para átomos grandes).
Cálculos passo a passo:
- Volume em SI:
- Seção de choque:
- Densidade numérica (gás ideal):
- Número total de átomos no volume:
- Termo de velocidade:
- Aplicando a fórmula final:
Substituindo números:
- Frequência de colisões por partícula (checação):
e então
, coerente com o resultado anterior.
Comentário sobre o exemplo: o valor numérico obtido é enorme porque foi usado
; na prática o césio não se encontra como gás nessa pressão à temperatura ambiente (condensaria). Este cálculo exemplifica o método e mostra como o resultado depende criticamente de
,
e
.
Passo 6
Resumo prático e o que você precisa passar (se quiser um número realista para o forno do seu experimento):
- Para um valor numérico real para o forno de césio, informe pelo menos:
- a temperatura
do forno (ou a pressão parcial do vapor de césio ); - se possível, a densidade
do vapor (ou a pressão); caso contrário a temperatura sozinha não basta porque a pressão de vapor de césio depende da temperatura de forma particular (tabela/curva de vapor).
- a temperatura
- Com esses dados plugue na fórmula
ou, usando
,
Resposta
(Exemplo ilustrativo com
)