Calcular a localização dos polos em malha fechada, no plano s e plano z, para um sistema de 2a ordem (dominante) de tal forma que a resposta ao degrau a este sistema apresente um tempo de acomodadação de 1 s e sobressalto de
.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente achar onde ficam os polos de um sistema de 2ª ordem em malha fechada, olhando tanto no plano s (contínuo) quanto no plano z (discreto). As condições são:
- Tempo de acomodação
- Sobressalto (overshoot)
O conteúdo aqui é de resposta de 2ª ordem: polos, razão de amortecimento
, frequência natural
, fórmula de overshoot e de tempo de acomodação, e depois mapeamento
via
.
Passo 2
Primeiro, acha
a partir do sobressalto. A fórmula padrão pra um pico de
é
Queremos
. Tomando logaritmo e isolando
:
Daí
Passo 3
Agora usa o tempo de acomodação. A definição com critério de 2% é
Queremos
s, logo
Passo 4
Com
e
em mãos, os polos no plano
são
Substituindo:
Logo
Passo 5
Pra levar isso ao plano
(discreto), a gente usa a transformação de amostragem (ZOH):
onde
é o período de amostragem. Então os polos em
ficam
Isso já te diz que o módulo é
e o argumento
.
Resposta
s-plane:
z-plane (para período de amostragem
):