Calcular a localização dos polos em malha fechada, no plano s e plano z, para um sistema de 2a ordem (dominante) de tal forma que a resposta ao degrau a este sistema apresente um tempo de acomodadação de 1 s e sobressalto de 15 %.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente achar onde ficam os polos de um sistema de 2ª ordem em malha fechada, olhando tanto no plano s (contínuo) quanto no plano z (discreto). As condições são:
  • Tempo de acomodação
  • Sobressalto (overshoot)
O conteúdo aqui é de resposta de 2ª ordem: polos, razão de amortecimento , frequência natural , fórmula de overshoot e de tempo de acomodação, e depois mapeamento via .

Passo 2

Primeiro, acha Mp = e^-pi zetaraiz1-zeta^2 a partir do sobressalto. A fórmula padrão pra um pico de 0.15 = e^-pi zetaraiz1-zeta^2 Longrightarrow -ln(0.15) = pi zetaraiz1-zeta^2 é
zeta = -ln(0.15)raizpi^2 + l(ln(0.15)r)^2 approx 0,517
Queremos . Tomando logaritmo e isolando :
Daí

Passo 3

Agora usa o tempo de acomodação. A definição com critério de 2% é
Ts approx 4zeta,omegan
Queremos 1 = 40.517;omegan Longrightarrow omegan = 40.517 approx 7,74 rad/s s, logo

Passo 4

Com s1,2 = -zeta,omegan ,pm, j,omeganraiz1-zeta^2 e -zeta,omegan approx -0.517times 7.74 approx -4,00, omeganraiz1-zeta^2approx 7.74raiz1-0.517^2approx 6,63 em mãos, os polos no plano s1,2 = -4.00 pm j,6.63(rad/s) são
Substituindo:
Logo

Passo 5

Pra levar isso ao plano z = e^sT, (discreto), a gente usa a transformação de amostragem (ZOH):
z1,2 ;=; e^(-4.00 pm j6.63),T ;=; e^-4.00,T;times;e^pm j,6.63,T
onde é o período de amostragem. Então os polos em ficam
Isso já te diz que o módulo é e o argumento .

Resposta

s-plane:
s1,2 = -4.00 pm j,6.63 (rad/s)
z-plane (para período de amostragem z1,2 = e^(-4.00 pm j,6.63),T ):

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