Determinar a estabilidade do seguinte sistema discreto no tempo:
Y(z)X(z)=z^-31+0.5 z^-1-1.34 z^-2+0.24 z^-3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se esse sistema discreto é estável:
Y(z)X(z)=z^-31+0.5,z^-1-1.34,z^-2+0.24,z^-3
Isso é conteúdo de sinais e sistemas (parte de sistemas LTI em tempo discreto). Pra decidir estabilidade, a gente precisa achar os polos (as raízes do denominador) e ver se todos têm magnitude menor que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador como um polinômio em z. Multiplicamos numerador e denominador por z^3:
H(z)=Y(z)X(z)=1z^3 + 0.5,z^2 - 1.34,z + 0.24
Então os polos são as raízes da equação
z^3 + 0.5,z^2 - 1.34,z + 0.24 = 0

Passo 3

A gente tenta achar uma raiz “bonitinha” por tentativa. Testando z=0.8:
0.8^3 + 0.5cdot0.8^2 -1.34cdot0.8 +0.24 = 0.512 +0.32 -1.072 +0.24 = 0
Beleza, z=0.8 é um polo.

Passo 4

Agora dividimos o polinômio por (z - 0.8) (divisão sintética) para ficar com um quadrático:
Coeficientes originais: 1, 0.5, -1.34, 0.24
Síntese com 0.8:
 1 | 0.5 | -1.34 | 0.24
  0.8| 1.3  | -0.3

1 | 1.3 | -0.3 | 0
Ou seja, sobra o polinômio z^2 + 1.3,z - 0.3=0.

Passo 5

Para resolver z^2 + 1.3,z - 0.3=0, usamos a fórmula de Bhaskara:
z = -1.3 pm raiz1.3^2 - 4cdot1cdot(-0.3)2 = -1.3 pm raiz1.69 + 1.22 = -1.3 pm 1.72
Isso dá os polos
$$z_1 = \frac{-1.3 + 1.7}{2} = 0.2,\quad
z_2 = \frac{-1.3 - 1.7}{2} = -1.5.$$

Passo 6

Agora temos os três polos:
z = 0.8, 0.2, -1.5
Pra um sistema discreto ser BIBO-estável, todos os polos têm que satisfazer |z|<1. Aqui o polo -1.5 tem |-1.5|=1.5>1.

Resposta

O sistema é instável, pois há um polo em z=-1.5 fora do círculo de raio 1.

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