Determinar a estabilidade do seguinte sistema discreto no tempo:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente ver se esse sistema discreto é estável:
Isso é conteúdo de sinais e sistemas (parte de sistemas LTI em tempo discreto). Pra decidir estabilidade, a gente precisa achar os polos (as raízes do denominador) e ver se todos têm magnitude menor que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador como um polinômio em
. Multiplicamos numerador e denominador por
:
Então os polos são as raízes da equação
Passo 3
A gente tenta achar uma raiz “bonitinha” por tentativa. Testando
:
Beleza,
Passo 4
Agora dividimos o polinômio por
(divisão sintética) para ficar com um quadrático:
Coeficientes originais: 1, 0.5, -1.34, 0.24
Síntese com
:
1 | 0.5 | -1.34 | 0.24
0.8| 1.3 | -0.3
1 | 1.3 | -0.3 | 0
Ou seja, sobra o polinômio
.
Passo 5
Para resolver
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso dá os polos
$$z_1 = \frac{-1.3 + 1.7}{2} = 0.2,\quad
z_2 = \frac{-1.3 - 1.7}{2} = -1.5.$$
Passo 6
Agora temos os três polos:
Pra um sistema discreto ser BIBO-estável, todos os polos têm que satisfazer
Resposta
O sistema é instável, pois há um polo em
fora do círculo de raio 1.