Explique com suas palavras porque podemos dividir o plano s em faixas primária e complementares, quando consideramos o mapeamento para o plano z .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente explicar por que, quando a gente faz o mapeamento do plano s para o plano z, rola uma “divisão” do plano s em faixas (uma principal e várias complementares). O assunto aqui é a Transformada Z e como a função exponencial complexa mapeia s em z. Para desenrolar isso, a gente vai precisar:
  • Do mapeamento básico: , com .
  • Entender a periodicidade da exponencial complexa: tem período .
  • Mostrar como isso gera faixas de largura ao longo do eixo imaginário de s.

Passo 2

Primeiro, escreve a expressão do mapeamento:
z = e^sT = e^(sigma + jomega),T = e^sigma T;e^j,omega T
Aqui o módulo de é e o argumento (ângulo) de é , mas a gente sabe que ângulo é sempre “mod ”.

Passo 3

Como e^j(omega T) = e^j(omega T + 2pi k), kinZ repete a cada omega' = omega + 2pi kT, , isso significa:
Então, se eu mudar para
o não muda. Em outras palavras, a direção imaginária de está “empacotada” em pedaços de largura .

Passo 4

Daí a gente percebe que o plano s se repete verticalmente: cada faixa de (essa é a faixa principal) gera todos os possíveis valores de sem repetir. As outras faixas, tipo , são só “cópias” que mapeiam pro mesmo lugar em z; por isso chamamos de faixas complementares.

Resposta

Podemos dividir o plano s em faixas primária e complementares porque o mapeamento é periódico em de período . Só na faixa principal o mapeamento é bijetivo (cada dá um único); nas faixas complementares a exponencial repete os mesmos valores de .

Exercícios relacionados