Explique com suas palavras porque podemos dividir o plano s em faixas primária e complementares, quando consideramos o mapeamento para o plano z .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente explicar por que, quando a gente faz o mapeamento do plano s para o plano z, rola uma “divisão” do plano s em faixas (uma principal e várias complementares). O assunto aqui é a Transformada Z e como a função exponencial complexa mapeia s em z. Para desenrolar isso, a gente vai precisar:
- Do mapeamento básico:
, com . - Entender a periodicidade da exponencial complexa:
tem período . - Mostrar como isso gera faixas de largura
ao longo do eixo imaginário de s.
Passo 2
Primeiro, escreve a expressão do mapeamento:
Aqui o módulo de
é
e o argumento (ângulo) de
é
, mas a gente sabe que ângulo é sempre “mod
”.
Passo 3
Como
repete a cada
, isso significa:
Então, se eu mudar
para
o
não muda. Em outras palavras, a direção imaginária de
está “empacotada” em pedaços de largura
.
Passo 4
Daí a gente percebe que o plano s se repete verticalmente: cada faixa de
(essa é a faixa principal) gera todos os possíveis valores de
sem repetir. As outras faixas, tipo
, são só “cópias” que mapeiam pro mesmo lugar em z; por isso chamamos de faixas complementares.
Resposta
Podemos dividir o plano s em faixas primária e complementares porque o mapeamento
é periódico em
de período
. Só na faixa principal
o mapeamento é bijetivo (cada
dá um
único); nas faixas complementares a exponencial repete os mesmos valores de
.