Calcular m para que exista um ângulo x com
\cos x=\frac{2}{m-1} \quad \text { e } \quad \operatorname{tg} x=\sqrt{m-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de m tais que exista um ângulo x satisfazendo
\cos x = \frac{2}{m-1} \quad\text{e}\quad \tan x = \sqrt{m-2}.
O conteúdo usado será identidades trigonométricas (relação entre seno, cosseno e tangente) e as condições de domínio de cada função.

Passo 2

Impondo domínio das funções trigonométricas:
  1. Para \tan x = \sqrt{m-2} estar bem definida e real, precisamos de
m-2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad m \ge 2.
  1. Para \cos x = \frac{2}{m-1} ser um valor aceitável de cosseno, deve valer
-1 \le \frac{2}{m-1} \le 1,
e ainda m\neq 1 para não gerar divisão por zero.

Passo 3

Expressamos \sin x em função de \tan x e \cos x:
\sin x = \tan x \,\cos x = \sqrt{m-2}\;\frac{2}{m-1} = \frac{2\sqrt{m-2}}{m-1}.

Passo 4

Aplicamos a identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1:
\Bigl(\frac{2\sqrt{m-2}}{m-1}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{2}{m-1}\Bigr)^{2} =1.
Isso dá
\frac{4(m-2)}{(m-1)^{2}} + \frac{4}{(m-1)^{2}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4\bigl((m-2)+1\bigr)}{(m-1)^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4(m-1)}{(m-1)^{2}}=1.

Passo 5

Simplificando,
\frac{4}{m-1}=1 \quad\Longrightarrow\quad m-1=4 \quad\Longrightarrow\quad m=5.

Passo 6

Verificamos a consistência com as restrições de domínio:
  • Para m=5, temos m\ge2 e m\neq1.
  • \cos x = 2/(5-1)=1/2 está em [-1,1].
  • \tan x = \sqrt{5-2}=\sqrt{3} é compatível com um ângulo de 60^\circ \pi/3, onde de fato \cos(\pi/3)=1/2 e \tan(\pi/3)=\sqrt{3}.

Resposta

m = 5

Exercícios relacionados