Prove as identidades abaixo, válidas para todo x onde expressões estão definidas:
\frac{\cos x-\operatorname{sen} x}{\cos x+\operatorname{sen} x}=\frac{1-\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que as expressões estiverem definidas, vale
\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x + \operatorname{sen} x} \;=\;\frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x}.
O conteúdo aqui é manipulação de identidades trigonométricas, em particular usar a definição
\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}
e a técnica de dividir numerador e denominador por \cos x, o que exige \cos x\neq0.

Passo 2

Começamos com o lado esquerdo e dividimos topo e fundo por \cos x:
\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x + \operatorname{sen} x} =\frac{\displaystyle\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}}{\displaystyle\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}} =\frac{1 - \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}}{1 + \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}}.

Passo 3

Substituindo \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}=\operatorname{tg} x, obtemos
\frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x},
que é exatamente o lado direito da identidade. Note que em todo o processo exigimos \cos x\neq0 e \cos x+\operatorname{sen} x\neq0, condições em que todas as frações fazem sentido.

Resposta

\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x + \operatorname{sen} x} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x}.

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