Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
\mathbf{C}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Trata-se de uma matriz triangular inferior com todos os pivôs iguais a 1. Para invertê-la, vamos usar o fato de que a inversa A=C^{-1} também é triangular inferior e satisfaz
C\,A = I.

Passo 2

Denotemos A=(a_{ij}) com a_{ij}=0 sempre que i<j. A condição C\,A=I equivale, para cada par (i,k), a
\sum_{j=1}^4 c_{ij}\,a_{jk} \;=\;\delta_{ik},
onde c_{ij} são os elementos de C e \delta_{ik} é o delta de Kronecker.

Passo 3

Como C é triangular inferior, a soma efetiva em cada linha i vai de j=1 até j=i. Em especial, para i=k obtemos
c_{ii}\,a_{ii}=1 \quad\Longrightarrow\quad a_{ii}=1,
já que c_{ii}=1. Para i>k, a condição de anulação dá
\sum_{j=k}^{i}c_{ij}\,a_{jk}=0.

Passo 4

Resolvendo coluna a coluna:
Coluna k=1: i=1: a_{11}=1. i=2: 2\cdot a_{11}+1\cdot a_{21}=0, \implies 2+ a_{21}=0, \implies a_{21}=-2. i=3: 3\cdot1+2\cdot(-2)+1\cdot a_{31}=0, \implies 3-4+a_{31}=0, \implies a_{31}=1. i=4: 4\cdot1+3\cdot(-2)+2\cdot1+1\cdot a_{41}=0, \implies 4-6+2+a_{41}=0, \implies a_{41}=0.
Coluna k=2: a_{22}=1. i=3: 2\cdot1+1\cdot a_{32}=0, \implies a_{32}=-2. i=4: 3\cdot1+2\cdot(-2)+1\cdot a_{42}=0, \implies 3-4+a_{42}=0, \implies a_{42}=1.
Coluna k=3: a_{33}=1. i=4: 2\cdot1+1\cdot a_{43}=0, \implies a_{43}=-2.
Coluna k=4: a_{44}=1.

Passo 5

Reunindo os valores, a matriz A=C^{-1} é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2& 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2& 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

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