Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
\mathbf{F}=\left[\begin{array}{rrr}-3 & -6 & -12 \\\\ 0 & 3 & -3 \\\\ -6 & -9 & -24\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
\mathbf{F} = \begin{pmatrix} -3 & -6 & -12\\\\ 0 & 3 & -3\\\\ -6 & -9 & -24 \end{pmatrix}.
Para encontrar \mathbf{F}^{-1}, vamos usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada \bigl[\mathbf{F}\mid \mathbf{I}\bigr], aplicar operações elementares até a parte esquerda virar \mathbf{I} e ler a inversa na parte direita.

Passo 2

Começamos com a matriz aumentada:
\left[\, \begin{array}{ccc|ccc} -3 & -6 & -12 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ -6 & -9 & -24 & 0 & 0 & 1 \end{array} \,\right].
  1. Tornamos o pivô (-3) em 1 multiplicando a linha 1 por -\tfrac13:
R_1\leftarrow -\tfrac13R_1 \;\Longrightarrow\; \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 4 & -\tfrac13 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ -6 & -9 & -24 & 0 & 0 & 1 \end{array} \,\right].
  1. Zeramos o elemento -6 em R_3 usando R_1:
R_3\leftarrow R_3 + 6R_1 \;\Longrightarrow\; \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 4 & -\tfrac13 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array} \,\right].

Passo 3

Agora pivotamos em (2,2):
  1. Dividimos R_2 por 3:
R_2\leftarrow \tfrac13R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 4 & -\tfrac13 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 0 & \tfrac13 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array} \,\right].
  1. Zeramos os coeficientes das outras linhas na coluna 2:
R_1\leftarrow R_1 - 2R_2, \quad R_3\leftarrow R_3 - 3R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 6 & \tfrac{11}{3} & \tfrac{4}{3} & -2\\\\ 0 & 1 & -1 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & -2 & -1 & 1 \end{array} \,\right].

Passo 4

Agora pivotamos em (3,3):
  1. Dividimos R_3 por 3:
R_3\leftarrow \tfrac13R_3 \;\Longrightarrow\; \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 6 & \tfrac{11}{3} & \tfrac{4}{3} & -2\\\\ 0 & 1 & -1 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array} \,\right].
  1. Zeramos os coeficientes acima do pivô em coluna 3:
R_1\leftarrow R_1 - 6R_3, \quad R_2\leftarrow R_2 + R_3 \;\Longrightarrow\; \left[\, \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{11}{3} & \tfrac{4}{3} & -2\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array} \,\right].

Resposta

A parte direita final é \mathbf{F}^{-1}:
\boxed{ \mathbf{F}^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{11}{3} & \tfrac{4}{3} & -2\\\\ -\tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\\\ -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} }.

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