Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
\mathbf{S}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 6 & 0 \\\\ 9 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 6 & 0\\\\ 9 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede \mathbf{S}^{-1}$. O conteúdo envolvido é inversão de matriz \(3\times3; vamos primeiro verificar se \mathbf{S} é invertível, calculando seu determinante, e em seguida explorar a estrutura de permutação e escala de \mathbf{S} para obter o inverso de forma direta.)

Passo 2

Calcular o determinante de \mathbf{S}. Das permutações de \{1,2,3\}, só a permutação (1\mapsto3,2\mapsto2,3\mapsto1) contribui, com sinal -1. Logo,
\det(\mathbf{S}) = -\,\bigl(s_{1,3}\,s_{2,2}\,s_{3,1}\bigr) = - (5\cdot6\cdot9) = -270 \neq 0.
Assim, \mathbf{S} é invertível.

Passo 3

Observar a ação de \mathbf{S} nos vetores canônicos \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3:
\mathbf{S}\,\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 9\end{pmatrix} = 9\,\mathbf{e}_3, \quad \mathbf{S}\,\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix} = 6\,\mathbf{e}_2, \quad \mathbf{S}\,\mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = 5\,\mathbf{e}_1.
Isso mostra que \mathbf{S} é a composição de uma permutação de coordenadas (1\to3,\;2\to2,\;3\to1) seguida de dilatações de fatores 9,6,5 nas respectivas direções.

Passo 4

Para inverter, invertemos a permutação e aplicamos os fatores recíprocos. Em particular:
\mathbf{S}^{-1}(\mathbf{e}_1) = \frac{1}{5}\,\mathbf{e}_3, \quad \mathbf{S}^{-1}(\mathbf{e}_2) = \frac{1}{6}\,\mathbf{e}_2, \quad \mathbf{S}^{-1}(\mathbf{e}_3) = \frac{1}{9}\,\mathbf{e}_1.
Isso significa que, na forma matricial, as colunas de \mathbf{S}^{-1} são esses vetores, dando
\mathbf{S}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{1}{9}\\\\ 0 & \tfrac{1}{6} & 0 \\\ \tfrac{1}{5} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathbf{S}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{1}{9}\\\\ 0 & \tfrac{1}{6} & 0\\\ \tfrac{1}{5} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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