Calcular a média, mediana, moda e desvio padrão da v.a. discreta definida pela seguinte função probabilidade
x 250 253 256 259 262 265
\mathrm{P}(\mathrm{x}) 0,10 0,35 0,30 0,15 0,05 0,05

Passo 1

O enunciado dá uma v.a. discreta X com valores
x = 250,\,253,\,256,\,259,\,262,\,265
e probabilidades
P(X=x) = 0,10,\;0,35,\;0,30,\;0,15,\;0,05,\;0,05
e pede a média, a mediana, a moda e o desvio‐padrão. Vamos usar as definições:
\displaystyle E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i) (média)
– mediana é o menor x tal que F(x)\ge0,5
– moda é o x de maior probabilidade
\displaystyle \mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 e \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Calcular a média \mu=E(X):
E(X) =250\cdot0,10 + 253\cdot0,35 + 256\cdot0,30 + 259\cdot0,15 + 262\cdot0,05 + 265\cdot0,05
=25 + 88,55 + 76,8 + 38,85 + 13,1 + 13,25 =255,55
Logo, \displaystyle \mu=255,55.

Passo 3

Calcular a mediana via função de distribuição acumulada F(x):
F(250)=0,10,\quad F(253)=0,10+0,35=0,45,\quad F(256)=0,45+0,30=0,75.
O menor x com F(x)\ge0,50 é x=256.
Portanto, a mediana é 256.

Passo 4

A moda é o valor de x que tem maior probabilidade. Aqui
\max P(X=x_i)=0,35\quad\text{em }x=253.
Logo, a moda é 253.

Passo 5

Calcular o desvio‐padrão: primeiro E(X^2):
E(X^2) =250^2\cdot0,10 + 253^2\cdot0,35 + 256^2\cdot0,30 + 259^2\cdot0,15 + 262^2\cdot0,05 + 265^2\cdot0,05
=6\,250 + 22\,403,15 + 19\,660,80 + 10\,062,15 + 3\,432,20 + 3\,511,25 =65\,319,55.
A variância é
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =65\,319,55 - (255,55)^2 \approx13,75,
logo o desvio‐padrão é
\sigma=\sqrt{13,75}\approx3,71.

Resposta

Média: 255,55
Mediana: 256
Moda: 253
Desvio‐padrão: 3,71

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