Uma construtora comprou três kits interfone de certo tipo a \mathrm{R} \ 100,00 cada um e quer vendêlos por R\ê 150,00 a unidade. O fabricante concordou em aceitar a devolução dos kits não vendidos, após um período especificado, por \mathrm{R} \ 40,00 cada kit. Seja X o número de kits vendidos e suponha queúp(0)=0,05, p(1)=0,10, p(2)=0,30, p(3)=0,55$. Determine o lucro esperado pela construtora.

Passo 1

O enunciado diz que a construtora comprou três kits a R$100,00 cada (custo total de R$ 300,00), vende cada um a R$150,00 e pode devolver os não vendidos por R$ 40,00 cada. A variável X é o número de kits vendidos, com distribuição
p(0)=0,05,\;p(1)=0,10,\;p(2)=0,30,\;p(3)=0,55.
Queremos o lucro esperado. Vamos usar expectativa de função de variável discreta e linearidade da esperança.

Passo 2

Definimos a receita como venda dos X kits e devolução dos 3-X kits:
\text{Receita} =150X + 40(3-X)=110X + 120.
O custo fixo foi de R$ 300,00, então o lucro \pi(X) é
\pi(X)=\bigl(110X +120\bigr)-300=110X-180.

Passo 3

Calculamos a esperança de X:
E[X]=\sum_{x=0}^{3}x\,p(x) =0\cdot0,05+1\cdot0,10+2\cdot0,30+3\cdot0,55=2,35.

Passo 4

Usando linearidade,
E[\pi(X)] = E[110X-180] = 110\,E[X] - 180.

Passo 5

Substituindo E[X]=2,35:
E[\pi(X)] = 110\times2,35 - 180 =258,5 - 180 =78,5.

Resposta

\text{R\$ }78,50

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