Seja X uma v.a. contínua, com a seguinte função densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 2 x & \text { para } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { para quaisquer outros valores } \end{array}\right.
a) Determine a função de distribuição cumulativa (fdc) dessa v.a.
b) Calcular o valor da E(X) e do desvio padrão

Passo 1

O enunciado nos dá uma v.a. contínua X com densidade
f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1,\\\\ 0, &\text{caso contrário}. \end{cases}á
O conteúdo envolvido é distribuição acumulada, esperança e desvio padrão de variáveis contínuas. Para resolver, vamos usar:
  1. A definição da f.d.c.
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
  1. As fórmulas
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx,\qquad \mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,\qquad \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Para obter a f.d.c. F(x) avaliamos a integral até três regiões de x:
  • Se x\le0, como f(t)=0 para t\le0, temos
F(x)=0.
  • Se 0<x<1, integramos de 0 até x:
F(x)=\int_{0}^{x}2t\,dt =\bigl[t^2\bigr]_{0}^{x} =x^2.
  • Se x\ge1, toda a massa já foi acumulada em (0,1), logo
F(x)=1.
Portanto,
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\\ x^2, & 0<x<1,\\\\ 1, & x\ge1. \end{cases}

Passo 3

Calculamos E(X), E(X^2) e a seguir variância e desvio padrão.
  • Esperança:
E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2x\,dx =\int_{0}^{1}2x^2\,dx =2\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{3}.
  • Segundo momento:
E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\cdot2x\,dx =\int_{0}^{1}2x^3\,dx =2\cdot\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{2}.
  • Variância:
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =\frac{1}{2}-\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2 =\frac{1}{2}-\frac{4}{9} =\frac{1}{18}.
  • Desvio padrão:
\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{18}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}.

Resposta

(a) A f.d.c. é
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\\ x^2, & 0<x<1,\\\\ 1, & x\ge1. \end{cases}
(b)
E(X)=\frac{2}{3}, \qquad \sigma_X=\frac{1}{3\sqrt{2}}.

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