Calcular a molalidade iônica média de uma solução 0,5 \mathrm{~m} de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}. ( R : 0,794 )

Passo 1

O enunciado pede: calcular a molalidade iônica média de uma solução 0,5\\ \mathrm{m} de \mathrm{Na}_{2}\mathrm{SO}_{4}. Informações dadas e observações claras:
  • A molalidade da solução de sal (mol de soluto por kg de solvente) é m_{\text{sal}} = 0,5\\ \mathrm{m}.
  • A fórmula do sal é \mathrm{Na}_{2}\mathrm{SO}_{4}, que ao dissociar produz os íons \mathrm{Na}^{+} e \mathrm{SO}_{4}^{2-}.
  • Da fórmula, os coeficientes estequiométricos dos íons são \nu_{+}=2 (dois \mathrm{Na}^{+}) e \nu_{-}=1 (um \mathrm{SO}_{4}^{2-}).
    A única pergunta é: qual é a molalidade iônica média (também chamada de molalidade média dos íons) dessa solução?

Passo 2

O que é a molalidade iônica média e qual fórmula usar? Vou explicar devagarinho:
  • Quando um eletrólito se dissocia, cada espécie iônica tem sua própria molalidade (mol de íon por kg de solvente). Chamamos de m_{+} a molalidade do cátion e m_{-} a do ânion.
  • Para medir uma “molalidade média” que represente o par iônico, usa-se a definição padrão (usada em equilíbrio e atividades iônicas): a molalidade iônica média m_{\pm} é a média geométrica ponderada pelas quantidades estequiométricas. A fórmula é
m_{\pm} = \bigl(m_{+}^{\,\nu_{+}}\;m_{-}^{\,\nu_{-}}\bigr)^{\frac{1}{\nu_{+}+\nu_{-}}}.
Aqui:
  • m_{+} = molalidade do cátion (por exemplo \mathrm{Na}^{+}),
  • m_{-} = molalidade do ânion (por exemplo \mathrm{SO}_{4}^{2-}),
  • \nu_{+} e \nu_{-} são os coeficientes estequiométricos dos íons na fórmula do sal.
    Essa fórmula faz sentido porque pondera geometricamente a contribuição de cada íon segundo quantas partículas idênticas ele gera.

Passo 3

Calcular as molalidades individuais dos íons a partir da molalidade do sal:
Se a molalidade do sal é m_{\text{sal}}=0,5\\ \mathrm{m}, então cada unidade de sal gera \nu_{+} cátions e \nu_{-} ânions; por isso
m_{+}=\nu_{+}\,m_{\text{sal}},\qquad m_{-}=\nu_{-}\,m_{\text{sal}}.
Para \mathrm{Na}_{2}\mathrm{SO}_{4} temos \nu_{+}=2 e \nu_{-}=1. Logo:
m_{\mathrm{Na}^{+}} = 2 \times 0,5 = 1,0\\ \mathrm{m},
m_{\mathrm{SO}_{4}^{2-}} = 1 \times 0,5 = 0,5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da molalidade iônica média com os valores obtidos:
Usando
m_{\pm} = \bigl(m_{+}^{\,\nu_{+}}\;m_{-}^{\,\nu_{-}}\bigr)^{\frac{1}{\nu_{+}+\nu_{-}}},
substituímos m_{+}=1,0\\ \mathrm{m}, m_{-}=0,5\\ \mathrm{m}, \nu_{+}=2, \nu_{-}=1. Assim
m_{\pm} = \bigl((1,0)^{2}\cdot(0,5)^{1}\bigr)^{\tfrac{1}{2+1}} = \bigl(1,0^{2}\cdot 0,5\bigr)^{1/3} = (0,5)^{1/3}.
Agora precisamos avaliar a raiz cúbica de 0,5. Para ter uma ideia: 0,8^{3}=0,512 (um pouco maior que 0,5), e 0,79^{3}\approx 0,493 (um pouco menor que 0,5). Portanto a raiz cúbica fica entre 0,79 e 0,8, bem próxima de 0,794. Calculando com precisão suficiente para prova:
(0,5)^{1/3}\approx 0,7937005\approx 0,794.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova: a molalidade iônica média é m_{\pm}\approx 0,794\\ \mathrm{m}. Na prova, faça os passos: (1) obtenha m_{+} e m_{-} pela estequiometria, (2) aplique a fórmula geométrica ponderada e (3) aproxime a raiz cúbica por comparação com cubos simples ( 0,7^{3},0,8^{3}) se não puder usar calculadora.

Resposta

\,0,794\\ \mathrm{m}

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