Calcular integral triplaT(x-y) d V, onde T é a região do espaço delimitada pelos planos y=0, z=0, y+z=5 e pelo cilindro parabólico z=4-x^2.

Passo 1

O enunciado pede
integral triplaT(x - y),dV,
onde T é a região no espaço limitada por
y=0, z=0, y+z=5, z=4 - x^2
O plano y+z=5 e o cilindro parabólico z=4 - x^2 se intersectam apenas para 4 - x^2>=0, isto é, -2<= x<=2. Vamos usar simetria em x e depois calcular o restante por integração iterada (Fubini).

Passo 2

Como a região T é simétrica em x (para cada (x,y,z)in T temos (-x,y,z)in T) e xmapsto x é ímpar, resulta
integral triplaTx,dV = 0
Logo
integral triplaT(x - y),dV = -integral triplaTy,dV

Passo 3

Para calcular integral triplaTy,dV, escolhemos a ordem de integração
y;de 0 a 5 - z, z;de 0 a 4 - x^2, x;de -2 a 2
Assim
integral triplaTy,dV = integralx=-2^2integralz=0^4 - x^2integraly=0^5 - z y,dy,dz,dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em y:
integral0^5 - zy,dy = y^22|0^5 - z = (5 - z)^22
Logo
integral triplaTy,dV = integral-2^2integral0^4 - x^2(5 - z)^22,dz,dx

Passo 5

Para a integral em z fazemos u=5-z, du=-dz:
integral0^4 - x^2(5 - z)^22,dz = 12integralz=0^4 - x^2(5 - z)^2dz = 12integralu=5^1 + x^2u^2(-du) = 12integralu=1 + x^2^5u^2,du
Isto é
12l[u^33r]1 + x^2^5 = 16l(125 - (1 + x^2)^3r)
Desenvolvendo (1 + x^2)^3 = 1 + 3x^2 +3x^4 + x^6, obtemos
integral0^4 - x^2(5 - z)^22,dz = 1256 - 16(1 + 3x^2 +3x^4 + x^6) = 623 - x^22 - x^42 - x^66

Passo 6

Finalmente integraremos de x=-2 a 2. Como a função
g(x)=623 - x^22 - x^42 - x^66
é par, temos
integral triplaTy,dV = integral-2^2g(x),dx = 2integral0^2g(x),dx = 7088105
Portanto
integral triplaT(x - y),dV = -7088105

Resposta

-7088105

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