Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Diga qual é o raio de convergência: c) f(x)=(4-x)^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(x) = (4 - x)^2/3
como série de potências usando a série binomial generalizada e determinar o raio de convergência.

Passo 2

Vamos fatorar a constante de modo a obter algo da forma (1+t)^alpha. Escrevemos
(4 - x)^2/3 = 4^2/3,l(1 - x4r)^2/3

Passo 3

A série binomial generalizada diz que, para alphainR e |t|<1,
(1 + t)^alpha = sumn=0^infty alpha choose n,t^n,
onde
alpha choose n = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 4

Aplicando com alpha = tfrac23 e t = -tfracx4, obtemos
(4 - x)^2/3 = 4^2/3sumn=0^infty tfrac23 choose nl(-x4r)^n = sumn=0^infty tfrac23 choose n(-1)^n,4^tfrac23-n,x^n
Por exemplo, os primeiros termos são
n=0:;4^2/3, n=1:;tfrac23choose1(-1),4^-1/3,x =-23,4^-1/3x,;dots

Passo 5

A condição de convergência da série binomial é l|tr|<1, ou seja l|-x/4r|<1, de onde
|x|<4
Logo o raio de convergência é R=4.

Resposta

(4 - x)^2/3 = sumn=0^infty tfrac23 choose n(-1)^n,4^tfrac23-n,x^n, R = 4

Exercícios relacionados