Calcular o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central de um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme \sigma em uma das superfícies.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um disco plano de raio \,R\,.
  • A densidade superficial de carga é uniforme na face do disco: \,\sigma (carga por unidade de área).
  • Pede-se o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central do disco, a uma distância \,z\, da superfície carregada (distância medida perpendicularmente ao plano do disco).
  • Não foi especificada outra referência, então adota-se a referência usual V(\infty)=0.
As quantidades conhecidas / dadas que vamos usar:
  • \,R (raio do disco);
  • \,\sigma (densidade superficial de carga);
  • \,z (distância do ponto ao plano do disco, no eixo central);
  • \,\varepsilon_0 (permissividade do vácuo), constante física necessária para relacionar carga e potencial.

Passo 2

Intuição e escolha do elemento de integração (sem resolver ainda).
O disco é circular e tem simetria axial em torno do eixo central. Isso permite dividir o disco em anéis concêntricos (cada um com raio r' e espessura radial dr'). Cada anel tem carga e contribui para o potencial no ponto do eixo; somando (integrando) as contribuições de todos os anéis de r'=0 até r'=R obtemos o potencial total. Explicando as peças:
  • Área de um anel de raio r' e espessura dr' é dA = 2\pi r'\,dr'.
  • Carga do anel: dq = \sigma\,dA = \sigma\,2\pi r'\,dr'.
  • Potencial devido a uma carga pontual q situada a distância s é V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{s}. Para o anel, todos os seus elementos estão à mesma distância do ponto sobre o eixo: essa distância é \sqrt{r'^{2}+z^{2}}. Assim a contribuição infinitesimal de potencial do anel é
dV = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{dq}{\sqrt{r'^{2}+z^{2}}}.

Passo 3

Escrever o integral do potencial e apresentar cada termo:
V(z)=\int dV=\int_{0}^{R} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\sigma\,2\pi r'\,dr'}{\sqrt{r'^{2}+z^{2}}}.
Simplificando constantes:
V(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R} \dfrac{r'\,dr'}{\sqrt{r'^{2}+z^{2}}}.
Agora calcular a integral. Faça a substituição útil
u = r'^{2}+z^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r'\,dr'\quad\Rightarrow\quad r'\,dr'=\dfrac{du}{2}.
Quando r'=0 temos u=z^{2}. Quando r'=R temos u=R^{2}+z^{2}. Substituindo:
V(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{u=z^{2}}^{u=R^{2}+z^{2}} \dfrac{1}{\sqrt{u}}\,\dfrac{du}{2} =\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}\int_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Calcular a integral explícita e voltar às variáveis originais:
\int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2}.
Aplicando os limites,
V(z)=\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}\left[2u^{1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} =\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\big(\sqrt{R^{2}+z^{2}}-\sqrt{z^{2}}\big).
Como \sqrt{z^{2}}=|z|, o resultado final é
V(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\big(\sqrt{R^{2}+z^{2}}-|z|\big).

Passo 5

Interpretações úteis (para usar na prova e checar limites):
  • Para pontos fora do disco no lado positivo do eixo (ou seja, z>0), pode escrever sem valor absoluto:
V(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\big(\sqrt{R^{2}+z^{2}}-z\big),\qquad z>0.
  • No centro do disco ( z=0):
V(0)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}R.
  • Limite a grandes distâncias ( z\gg R): usar a expansão \sqrt{R^{2}+z^{2}}\approx z+\dfrac{R^{2}}{2z} obtém-se
V(z)\approx \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot\dfrac{R^{2}}{2z}=\dfrac{\sigma\pi R^{2}}{4\pi\varepsilon_0 z}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 z},
onde Q=\sigma\pi R^{2} é a carga total do disco — ou seja, a grandes distâncias o disco se comporta como uma carga pontual Q.

Resposta

V(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\big(\sqrt{R^{2}+z^{2}}-|z|\big)

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