Calcular o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central de um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme
em uma das superfícies.
Passo 1
O enunciado dá:
- Um disco plano de raio
. - A densidade superficial de carga é uniforme na face do disco:
(carga por unidade de área). - Pede-se o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central do disco, a uma distância
da superfície carregada (distância medida perpendicularmente ao plano do disco). - Não foi especificada outra referência, então adota-se a referência usual
.
As quantidades conhecidas / dadas que vamos usar:
-
(raio do disco); -
(densidade superficial de carga); -
(distância do ponto ao plano do disco, no eixo central); -
(permissividade do vácuo), constante física necessária para relacionar carga e potencial.
Passo 2
Intuição e escolha do elemento de integração (sem resolver ainda).
O disco é circular e tem simetria axial em torno do eixo central. Isso permite dividir o disco em anéis concêntricos (cada um com raio e espessura radial
). Cada anel tem carga e contribui para o potencial no ponto do eixo; somando (integrando) as contribuições de todos os anéis de
até
obtemos o potencial total. Explicando as peças:
O disco é circular e tem simetria axial em torno do eixo central. Isso permite dividir o disco em anéis concêntricos (cada um com raio
- Área de um anel de raio
e espessura é . - Carga do anel:
. - Potencial devido a uma carga pontual
situada a distância é . Para o anel, todos os seus elementos estão à mesma distância do ponto sobre o eixo: essa distância é . Assim a contribuição infinitesimal de potencial do anel é
Passo 3
Escrever o integral do potencial e apresentar cada termo:
Simplificando constantes:
Agora calcular a integral. Faça a substituição útil
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo:
Passo 4
Calcular a integral explícita e voltar às variáveis originais:
Aplicando os limites,
Como
, o resultado final é
Passo 5
Interpretações úteis (para usar na prova e checar limites):
- Para pontos fora do disco no lado positivo do eixo (ou seja,
), pode escrever sem valor absoluto:
- No centro do disco (
):
- Limite a grandes distâncias (
): usar a expansão obtém-se
onde
é a carga total do disco — ou seja, a grandes distâncias o disco se comporta como uma carga pontual
.