Calcular com precisão de quatro casas decimais o valor da integral:
\int_{0}^{0,5} \tan ^{-1} t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular com precisão de quatro casas decimais a integral
I = \int_{0}^{0,5} \tan^{-1}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Essa integral não possui primitiva elementar simples, então vamos usar a expansão em série de potências do arcotangente e integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que para \lvert u\rvert\le1 vale a expansão
\tan^{-1}u \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{u^{2k+1}}{2k+1}.
Tomando u=t^{2}, obtemos
\tan^{-1}\bigl(t^{2}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{t^{4k+2}}{2k+1}.

Passo 3

Integrando termo a termo em [0,0,5] resulta
I = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{2k+1} \int_{0}^{0,5}t^{4k+2}\,dt =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(0,5)^{4k+3}}{(2k+1)(4k+3)}.

Passo 4

Vamos computar os termos até que o próximo tenha módulo menor que 5\times10^{-5}:
Para k=0:
a_{0}=\frac{(0,5)^{3}}{1\cdot3}=\frac{0,125}{3}\approx0,0416666667.
Para k=1:
a_{1}=-\frac{(0,5)^{7}}{3\cdot7}=-\frac{0,0078125}{21}\approx-0,0003720238,
soma parcial \approx0,0412946429.
Para k=2:
a_{2}=\frac{(0,5)^{11}}{5\cdot11}=\frac{0,00048828125}{55}\approx0,0000088778,
soma parcial \approx0,0413035207.
Para k=3:
a_{3}=-\frac{(0,5)^{15}}{7\cdot15}\approx-0,0000002906,
soma parcial \approx0,0413032301.
Para k=4:
a_{4}\approx+0,0000000112,
soma parcial \approx0,0413032413.
O próximo termo já é da ordem de 10^{-10}, muito abaixo de 5\times10^{-5}, então podemos parar aqui.

Passo 5

Com isso,
I\approx0,0413032413.
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos
I\approx0,0413.

Resposta

0,0413

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