Calcular com precisão de quatro casas decimais o valor da integral:
\int_{0}^{0,8} e^{-t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{0}^{0,8} e^{-t^{3}} \,dt
que não tem primitiva elementar. Para obter um valor numérico com quatro casas decimais, vamos usar a regra composta de Simpson, que é um método de integração numérica baseado em aproximações polinomiais de grau 2 em subintervalos.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,0,8] em n=8 subintervalos iguais de comprimento
h = \frac{0,8-0}{8} = 0,1.
Chamamos os nós de t_i = 0 + i\,h para i=0,1,\dots,8 e definimos f_i = e^{-t_i^3}. A fórmula composta de Simpson diz
\int_{0}^{0,8} e^{-t^3}\,dt \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + f_8 + 4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{7}f_i + 2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{6}f_i\Bigr).

Passo 3

Calculamos os valores de f_i = e^{-t_i^3}:
f_0 = e^{0} = 1;
f_1 = e^{-0,1^3}\approx0,9990005;
f_2 = e^{-0,2^3}\approx0,9920319;
f_3 = e^{-0,3^3}\approx0,9733540;
f_4 = e^{-0,4^3}\approx0,9374210;
f_5 = e^{-0,5^3}\approx0,8824970;
f_6 = e^{-0,6^3}\approx0,8057390;
f_7 = e^{-0,7^3}\approx0,7096340;
f_8 = e^{-0,8^3}\approx0,5991930.

Passo 4

Substituindo na regra de Simpson:
\int_{0}^{0,8} e^{-t^3}\,dt \approx \frac{0,1}{3}\bigl[(f_0+f_8)+4(f_1+f_3+f_5+f_7)+2(f_2+f_4+f_6)\bigr].
Calculando as somas:
(f_0+f_8)=1,599193,\quad 4(f_1+f_3+f_5+f_7)\approx14,257944,\quad 2(f_2+f_4+f_6)\approx5,470376,
logo o total dentro dos colchetes é 21,327513. Assim
\int_{0}^{0,8} e^{-t^3}\,dt \approx \frac{0,1}{3}\times21,327513 \approx0,7109177.

Passo 5

Arredondando para quatro casas decimais, o valor da integral é
0,7109.

Resposta

0,7109

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