Calcular o produto misto dos vetores \vec{u}=2 \vec{i}+3 \vec{j}+5 \vec{k}, \vec{v}=-\vec{i}+3 \vec{j}+3 \vec{k} e \vec{w}=4 \vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular o produto misto dos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Os vetores dados são:
    • \vec{u} = 2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}.
    • \vec{v} = -\vec{i}+3\vec{j}+3\vec{k}.
    • \vec{w} = 4\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}.
Vou usar as componentes dos vetores explicitamente ao longo da resolução.

Passo 2

O que é o produto misto e como representá‑lo.
  • O produto misto de três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é definido como [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).Isso resulta num número escalar (um único número).
  • Uma forma prática de calcular esse escalar é usando o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Assim: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z \\\ v_x & v_y & v_z \\\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}.Aqui u_x,u_y,u_z são as componentes de \vec{u}, etc.

Passo 3

Escrever o determinante com as componentes fornecidas.
  • Das expressões dadas:
    • \vec{u}=(2,3,5),
    • \vec{v}=(-1,3,3),
    • \vec{w}=(4,-3,2).
  • Portanto o produto misto é [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\\\ -1 & 3 & 3 \\\\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calcular o determinante por expansão pela primeira linha (regra dos cofatores).
  • A expansão pela primeira linha dá:
    \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\\\ -1 & 3 & 3 \\\\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\\\ -3 & 2 \end{vmatrix} - 3\cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\\\ 4 & 2 \end{vmatrix} + 5\cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\\\ 4 & -3 \end{vmatrix}.
  • Agora calculo cada determinante 2\times2. Lembre: para uma matriz \begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix} vale ad-bc.
    1. Primeiro menor:
    \begin{vmatrix} 3 & 3 \\\\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 3\cdot 2 - 3\cdot(-3) = 6 + 9 = 15.
    1. Segundo menor:
    \begin{vmatrix} -1 & 3 \\\\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 2 - 3\cdot 4 = -2 - 12 = -14.
    1. Terceiro menor:
    \begin{vmatrix} -1 & 3 \\\\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-3) - 3\cdot 4 = 3 - 12 = -9.

Passo 5

Substituir os valores dos menores e efetuar as operações aritméticas finais.
  • Substituindo: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 2\cdot 15 - 3\cdot(-14) + 5\cdot(-9).
  • Calcular termo a termo: 2\cdot 15 = 30,\qquad -3\cdot(-14)=+42,\qquad 5\cdot(-9)=-45.
  • Somando: 30 + 42 - 45 = 72 - 45 = 27.

Resposta

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