Calcular o produto misto dos vetores
e
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular o produto misto dos vetores
. - Os vetores dados são:
-
. -
. -
.
-
Vou usar as componentes dos vetores explicitamente ao longo da resolução.
Passo 2
O que é o produto misto e como representá‑lo.
- O produto misto de três vetores
é definido como Isso resulta num número escalar (um único número). - Uma forma prática de calcular esse escalar é usando o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Assim:
Aqui são as componentes de , etc.
Passo 3
Escrever o determinante com as componentes fornecidas.
- Das expressões dadas:
-
, -
, -
.
-
- Portanto o produto misto é
Passo 4
Calcular o determinante por expansão pela primeira linha (regra dos cofatores).
-
A expansão pela primeira linha dá:
-
Agora calculo cada determinante
. Lembre: para uma matriz vale .- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
Passo 5
Substituir os valores dos menores e efetuar as operações aritméticas finais.
- Substituindo:
- Calcular termo a termo:
- Somando: