Pede-se A^{-1}, a matriz tal que A\,A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan com matriz aumentada. Ideia principal:
Monta-se a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr].
Usa-se operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo em I.
As mesmas operações aplicadas ao bloco direito transformam I em A^{-1}.
Cada operação elementar de linha tem efeito equivalente a multiplicar por uma matriz elementar; no final teremos I à esquerda e A^{-1} à direita.
Trabalhar com o segundo pivô na posição (2,2), cujo valor atual é 5. Para simplificar, normaliza-se a linha 2 dividindo por 5:
Fazer R_2 \leftarrow \dfrac{1}{5}R_2. Cálculo:
Linha 2 (esquerda): [0,1,-\tfrac{2}{5}].
Linha 2 (direita): [-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0].
Agora a matriz aumentada é:
Trabalhar com o pivô da terceira linha -\tfrac{23}{5} na posição (3,3). Normaliza-se a linha 3 dividindo por -\tfrac{23}{5}, isto é multiplicando por -\tfrac{5}{23}:
Fazer R_3 \leftarrow -\dfrac{5}{23}R_3.
Cálculo na parte direita:
Interpretação final: o bloco à direita da matriz aumentada é a inversa A^{-1}. Confere-se rapidamente que A A^{-1}=I (pode testar produto linha por coluna; por exemplo a primeira linha do produto dá 1, 0, 0 conforme verificado).