Questão 3.
(2,0 pontos) Calcule a inversa da seguinte matriz. Use o método que preferir.
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -5 \end{array}\right].
Informações dadas:
  • A é uma matriz quadrada 3\times3.
  • Pede-se A^{-1}, a matriz tal que A\,A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan com matriz aumentada. Ideia principal:
  • Monta-se a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr].
  • Usa-se operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo em I.
  • As mesmas operações aplicadas ao bloco direito transformam I em A^{-1}.
    Cada operação elementar de linha tem efeito equivalente a multiplicar por uma matriz elementar; no final teremos I à esquerda e A^{-1} à direita.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna (usar pivô a_{11}=1):
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
  • Linha 2 (esquerda): [2,1,0] - 2[1,-2,1] = [0,5,-2].
  • Linha 2 (direita): [0,1,0] - 2[1,0,0] = [-2,1,0].
    Linha 3 já tem zero na coluna 1, então permanece.
    Matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & -2 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Trabalhar com o segundo pivô na posição (2,2), cujo valor atual é 5. Para simplificar, normaliza-se a linha 2 dividindo por 5:
Fazer R_2 \leftarrow \dfrac{1}{5}R_2. Cálculo:
  • Linha 2 (esquerda): [0,1,-\tfrac{2}{5}].
  • Linha 2 (direita): [-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0].
    Agora a matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\\\ 0 & 1 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Eliminar os outros elementos na coluna 2 usando o pivô 1 em (2,2).
a) Eliminar em R_1: como a_{12}=-2, fazer R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.
  • Linha 1 (esquerda): [1,-2,1] + 2[0,1,-\tfrac{2}{5}] = [1,0,1 - \tfrac{4}{5}] = [1,0,\tfrac{1}{5}].
  • Linha 1 (direita): [1,0,0] + 2[-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0] = [1 - \tfrac{4}{5}, \tfrac{2}{5}, 0] = [\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0].
b) Eliminar em R_3: como a_{32}=1, fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
  • Linha 3 (esquerda): [0,1,-5] - [0,1,-\tfrac{2}{5}] = [0,0,-5 + \tfrac{2}{5}] = [0,0,-\tfrac{23}{5}].
  • Linha 3 (direita): [0,0,1] - [-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0] = [\tfrac{2}{5}, -\tfrac{1}{5}, 1].
Após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{23}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & 1 \end{array}\right].

Passo 7

Trabalhar com o pivô da terceira linha -\tfrac{23}{5} na posição (3,3). Normaliza-se a linha 3 dividindo por -\tfrac{23}{5}, isto é multiplicando por -\tfrac{5}{23}:
Fazer R_3 \leftarrow -\dfrac{5}{23}R_3.
Cálculo na parte direita:
\left[\tfrac{2}{5},-\tfrac{1}{5},1\right]\cdot\left(-\dfrac{5}{23}\right) = \left[-\dfrac{2}{23},\dfrac{1}{23},-\dfrac{5}{23}\right].
E a parte esquerda fica [0,0,1].
Agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{23} & \tfrac{1}{23} & -\tfrac{5}{23} \end{array}\right].

Passo 8

Eliminar as entradas acima do pivô em (3,3):
a) Em R_1 o elemento é \tfrac{1}{5}. Fazer R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{5}R_3.
Cálculos na parte direita:
\left[\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0\right] - \tfrac{1}{5}\left[-\tfrac{2}{23},\tfrac{1}{23},-\tfrac{5}{23}\right] = \left[\tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{115},\\ \tfrac{2}{5} - \tfrac{1}{115},\\\ 0 + \tfrac{1}{23}\right].
Convertendo para denominador comum 115:
\left[\tfrac{23}{115}+\tfrac{2}{115},\\ \tfrac{46}{115}-\tfrac{1}{115},\\ \tfrac{5}{115}\right] = \left[\tfrac{25}{115},\\ \tfrac{45}{115},\\ \tfrac{5}{115}\right] = \left[\tfrac{5}{23},\\ \tfrac{9}{23},\\ \tfrac{1}{23}\right].
A parte esquerda fica [1,0,0].
b) Em R_2 o elemento é -\tfrac{2}{5}. Fazer R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{2}{5}R_3.
Cálculos na parte direita:
\left[-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0\right] + \tfrac{2}{5}\left[-\tfrac{2}{23},\tfrac{1}{23},-\tfrac{5}{23}\right] = \left[-\tfrac{2}{5} - \tfrac{4}{115},\\ \tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{115},\\\ 0 - \tfrac{10}{115}\right].
Novamente para denominador 115:
\left[-\tfrac{46}{115}-\tfrac{4}{115},\\ \tfrac{23}{115}+\tfrac{2}{115},\\\ -\tfrac{10}{115}\right] = \left[-\tfrac{50}{115},\\ \tfrac{25}{115},\\\ -\tfrac{10}{115}\right] = \left[-\tfrac{10}{23},\\ \tfrac{5}{23},\\\ -\tfrac{2}{23}\right].
A parte esquerda fica [0,1,0].
Após essas eliminações, a matriz aumentada é exatamente \bigl[I\mid A^{-1}\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{5}{23} & \tfrac{9}{23} & \tfrac{1}{23} \\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{10}{23} & \tfrac{5}{23} & -\tfrac{2}{23} \\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{23} & \tfrac{1}{23} & -\tfrac{5}{23} \end{array}\right].

Passo 9

Interpretação final: o bloco à direita da matriz aumentada é a inversa A^{-1}. Confere-se rapidamente que A A^{-1}=I (pode testar produto linha por coluna; por exemplo a primeira linha do produto dá 1, 0, 0 conforme verificado).

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{5}{23} & \tfrac{9}{23} & \tfrac{1}{23} \\\\ -\tfrac{10}{23} & \tfrac{5}{23} & -\tfrac{2}{23} \\\\ -\tfrac{2}{23} & \tfrac{1}{23} & -\tfrac{5}{23} \end{pmatrix}

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