Dados os vetores vec{u}=5 \vec{i}+4 \vec{j}+3 \vec{k} e vec{v}=\vec{i}+\vec{k}, calcule o produto vetorial:
vec{u} \times \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o produto vetorial entre eles. Informações fornecidas:
  • \vec{u}=5\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k}.
  • \vec{v}=\vec{i}+\vec{k}.
    O que se pede: calcular o vetor \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

Entender o que é o produto vetorial (conceito rápido e útil para a prova).
  • O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}.
  • Em componentes, se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), uma fórmula prática é:
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2\bigr)\vec{i}-\bigl(a_1 b_3 - a_3 b_1\bigr)\vec{j}+\bigl(a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr)\vec{k}.
  • Aqui cada componente é uma diferença de produtos; o sinal negativo no termo do \vec{j} faz parte da definição (vem da expansão do determinante com \vec{i},\vec{j},\vec{k}).

Passo 3

Extrair as componentes dos vetores dados (escrevendo em forma de tupla fica mais claro para aplicar a fórmula):
  • A partir de \vec{u}=5\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k} obtemos \vec{u}=(5,4,3).
  • A partir de \vec{v}=\vec{i}+\vec{k} obtemos \vec{v}=(1,0,1).

Passo 4

Calcular a componente na direção de \vec{i} usando a fórmula:
\text{componente em }\vec{i}=u_2 v_3 - u_3 v_2.
Substituindo u_2=4,\;u_3=3,\;v_3=1,\;v_2=0:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = 4\cdot 1 - 3\cdot 0 = 4.
Logo o coeficiente de \vec{i} é 4.

Passo 5

Calcular a componente na direção de \vec{j} (lembre do sinal negativo na fórmula):
\text{componente em }\vec{j}= -\bigl(u_1 v_3 - u_3 v_1\bigr).
Substituindo u_1=5,\;u_3=3,\;v_3=1,\;v_1=1:
u_1 v_3 - u_3 v_1 = 5\cdot 1 - 3\cdot 1 = 5-3 = 2.
Aplicando o sinal negativo:
\text{coeficiente de }\vec{j} = -2.

Passo 6

Calcular a componente na direção de \vec{k}:
\text{componente em }\vec{k}=u_1 v_2 - u_2 v_1.
Substituindo u_1=5,\;u_2=4,\;v_2=0,\;v_1=1:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 5\cdot 0 - 4\cdot 1 = 0 - 4 = -4.
Logo o coeficiente de \vec{k} é -4.

Passo 7

Juntando as três componentes obtidas, o produto vetorial é
\vec{u}\times\vec{v}=4\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k}.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática para prova): checar que o resultado é perpendicular aos dois vetores calculando produto escalar.
  • Calcular \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=5\cdot 4 + 4\cdot(-2) + 3\cdot(-4)=20-8-12=0.
  • Calcular \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=1\cdot 4 + 0\cdot(-2) + 1\cdot(-4)=4-4=0.
Os dois resultados dão 0, confirmando que o vetor encontrado é perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}, como deve ser.

Resposta

\;4\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k}

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