Calcular os produtos:
\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right). \left(\begin{array}{ll}1 & -5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o produto entre dois vetores dados. Os vetores fornecidos são:
\text{vetor coluna } u=\left(\begin{array}{c}2\\[4pt]1\\[4pt]4\end{array}\right) \qquad\text{e}\qquad \text{vetor linha } v=\left(\begin{array}{ll}1 & -5\end{array}\right).
O objetivo é encontrar u\cdot v.]

Passo 2

Antes de calcular, vamos verificar as dimensões para saber se o produto está definido e qual será a dimensão do resultado.
  • O vetor u é de dimensão 3\times1 (três linhas, uma coluna).
  • O vetor v é de dimensão 1\times2 (uma linha, duas colunas).
Regra de dimensão: um produto (m\times1)\cdot(1\times n) é possível e resulta numa matriz de dimensão m\times n. Portanto, u\cdot v vai resultar numa matriz 3\times2.

Passo 3

Definição prática (fórmula): se
u=\left(\begin{array}{c}u_1\\[4pt]u_2\\[4pt]\vdots\\[4pt]u_m\end{array}\right) \quad\text{e}\quad v=\left(\begin{array}{cccc}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{array}\right),
então o produto u\cdot v é a matriz A=[a_{ij}] de dimensão m\times n com entradas
a_{ij}=u_i\cdot v_j.
Em palavras: multiplica-se cada componente do vetor coluna por cada componente do vetor linha, formando uma grade de produtos.]

Passo 4

Calcular a primeira linha da matriz resultado (i = 1):
a_{11}=u_1\cdot v_1 = 2\cdot 1 = 2,
a_{12}=u_1\cdot v_2 = 2\cdot(-5) = -10.

Passo 5

Calcular a segunda linha da matriz resultado (i = 2):
a_{21}=u_2\cdot v_1 = 1\cdot 1 = 1,
a_{22}=u_2\cdot v_2 = 1\cdot(-5) = -5.

Passo 6

Calcular a terceira linha da matriz resultado (i = 3):
a_{31}=u_3\cdot v_1 = 4\cdot 1 = 4,
a_{32}=u_3\cdot v_2 = 4\cdot(-5) = -20.

Passo 7

Revisão rápida: cada entrada foi obtida multiplicando o elemento da linha correspondente do vetor coluna pelo elemento da coluna correspondente do vetor linha. Sinais e multiplicações conferem com as contas acima.

Resposta

\left(\begin{array}{cc} 2 & -10\\[4pt] 1 & -5\\[4pt] 4 & -20 \end{array}\right)]

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