Calcular os produtos:
\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 5 \\\\ 4 & -1 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto entre a matriz 2\times3
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 5 \\[4pt] 4 & -1 & 3\end{pmatrix}
e o vetor coluna 3\times1
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3 \\[4pt] -1 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Ou seja, calcular A\mathbf{v}.]

Passo 2

Antes de calcular, verificar compatibilidade de dimensões: A é 2\times3 e \mathbf{v} é 3\times1. Quando multiplicamos uma matriz m\times n por um vetor n\times1 o resultado é um vetor m\times1. Portanto o produto A\mathbf{v} existe e será um vetor coluna de dimensão 2\times1.

Passo 3

Lembrete prático (fórmula): se A=(a_{ij}) é m\times n e \mathbf{v}=(v_j) é n\times1, então o i-ésimo componente do produto A\mathbf{v} é dado por
(A\mathbf{v})_i=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,v_j.
Aqui i indica a linha da matriz resultado, j percorre as colunas de A (e as entradas de \mathbf{v}). Em palavras: cada componente do resultado é o produto escalar (dot product) da linha i de A com o vetor \mathbf{v}.

Passo 4

Calcular a primeira componente (A\mathbf{v})_1: é o produto escalar da primeira linha de A, que é (2,1,5), com \mathbf{v}=(3,-1,2). Aplicando a fórmula:
(A\mathbf{v})_1 = 2\cdot 3 + 1\cdot(-1) + 5\cdot 2.
Agora fazer as contas passo a passo:
2\cdot 3 = 6,\qquad 1\cdot(-1) = -1,\qquad 5\cdot 2 = 10.
Somando:
6 + (-1) + 10 = 6 - 1 + 10 = 15.
Logo a primeira componente vale 15.

Passo 5

Calcular a segunda componente (A\mathbf{v})_2: é o produto escalar da segunda linha de A, que é (4,-1,3), com \mathbf{v}=(3,-1,2). Aplicando a fórmula:
(A\mathbf{v})_2 = 4\cdot 3 + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot 2.
Fazendo as contas:
4\cdot 3 = 12,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,\qquad 3\cdot 2 = 6.
Somando:
12 + 1 + 6 = 19.
Portanto a segunda componente vale 19.

Resposta

\begin{pmatrix}15 \\[4pt] 19\end{pmatrix}]

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