Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\\\ 4 & -1 & -6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}5 & -7 & -9 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{lll}0 & 9 & 8 \\\\ 1 & 4 & 6\end{array}\right), calcule, se existir:
B.C

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes, das quais usaremos B e C:
B=\begin{pmatrix}5 & -7 & -9 \\[4pt] 0 & 4 & 1\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}0 & 9 & 8 \\[4pt] 1 & 4 & 6\end{pmatrix}.
A pergunta é calcular B\cdot C (o produto matricial de B por C), se esse produto existir.]

Passo 2

Regra geral de multiplicação de matrizes (explicando passo a passo):
  • Seja X uma matriz de tamanho m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) e seja Y uma matriz de tamanho p\times q.
  • O produto X\cdot Y está definido se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y; isto é, se n=p.
  • Quando definido, X\cdot Y resulta numa matriz de tamanho m\times q.
  • A regra para calcular cada elemento da matriz produto é:
(X\cdot Y)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde i indica a linha do produto (vai de 1 a m), j indica a coluna do produto (vai de 1 a q), e o índice k percorre as colunas de X (ou as linhas de Y) somando os produtos correspondentes.
Explicando em palavras: para obter o elemento da linha i e coluna j do produto, multiplica-se, termo a termo, a linha i de X pela coluna j de Y e soma-se tudo.

Passo 3

Determinar as dimensões de B e C a partir das matrizes dadas:
  • Pela escrita, B tem 2 linhas e 3 colunas, logo B é 2\times 3.
  • Pela escrita, C tem 2 linhas e 3 colunas, logo C é 2\times 3.
Para que B\cdot C existisse precisaríamos que o número de colunas de B (que é 3) fosse igual ao número de linhas de C. Aqui as colunas de B valem 3 e as linhas de C valem 2; como
3 \neq 2,
a condição n=p não é satisfeita.

Passo 4

Conclusão sobre a existência do produto: pela regra de compatibilidade de dimensões, o produto B\cdot C não está definido porque o número de colunas de B é diferente do número de linhas de C. Isso já é suficiente — não há como calcular elementos do produto quando a multiplicação não é definida.
Passando uma dica prática para a prova (para fixar o conceito): se fosse necessário multiplicar uma matriz 2\times 3 por outra que fosse 3\times 2, aí sim daria para multiplicar e o resultado seria 2\times 2. Nesse caso cada entrada do produto seria calculada por uma soma de três termos, usando a fórmula do passo 2.

Resposta

A multiplicação B\cdot C não está definida.

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